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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mo 22.04.2013 | | Autor: | roxtar |
| Aufgabe | Funktion f sei durch
[mm] f(x)=\begin{cases} 5sinx+3, & \mbox{falls } x \le \mbox{ 1} \\ 1/x + 3x^2, & \mbox{falls } x > \mbox{ 1} \end{cases}
[/mm]
gegeben. Man berechne das Integral [mm] \integral_{-2}^{5}{f(x) dx}. [/mm] |
Komm mit der Berechnung von Integralen mittlerweile gut zu recht, ebenso mit den Stammfunktionen (und man siehe da, ich hab mir das Wort "Aufleitung" abgewöhnt).
Bei der Berechnung der oben angegebenen Aufgabe bin ich mir jedoch nicht ganz sicher.
Ich stell euch mal die Optionen vor, die ich im Kopf habe.
a)
Die erste Funktion von -2 bis 1 plus oder minus die zweite Funktion von 1 bis 5:
[mm] \integral_{-2}^{1}{5sinx + 3x dx} [/mm] (+ oder - ?) [mm] \integral_{1}^{5}{1/x + 3x^2 dx}
[/mm]
b)
Oder einfach das Integral für beide Fälle ausrechnen.
[mm] \integral_{-2}^{5}{5sinx + 3x dx}
[/mm]
[mm] \integral_{-2}^{5}{1/x + 3x^2 dx}
[/mm]
Bitte um Hilfe, danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mo 22.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Funktion f sei durch
> [mm]f(x)=\begin{cases} 5sinx+3, & \mbox{falls } x \le \mbox{ 1} \\ 1/x + 3x^2, & \mbox{falls } x > \mbox{ 1} \end{cases}[/mm]
>
> gegeben. Man berechne das Integral [mm]\integral_{-2}^{5}{f(x) dx}.[/mm]
>
> Komm mit der Berechnung von Integralen mittlerweile gut zu
> recht, ebenso mit den Stammfunktionen (und man siehe da,
> ich hab mir das Wort "Aufleitung" abgewöhnt).
dazu kann ich Dir nur gratulieren!
>
> Bei der Berechnung der oben angegebenen Aufgabe bin ich mir
> jedoch nicht ganz sicher.
> Ich stell euch mal die Optionen vor, die ich im Kopf
> habe.
>
> a)
> Die erste Funktion von -2 bis 1 plus oder minus die zweite
> Funktion von 1 bis 5:
> [mm]\integral_{-2}^{1}{5sinx + 3x dx}[/mm] (+ oder - ?)
> [mm]\integral_{1}^{5}{1/x + 3x^2 dx}[/mm]
>
>
>
> b)
> Oder einfach das Integral für beide Fälle ausrechnen.
> [mm]\integral_{-2}^{5}{5sinx + 3x dx}[/mm]
> [mm]\integral_{-2}^{5}{1/x + 3x^2 dx}[/mm]
>
> Bitte um Hilfe, danke!
Die erste Option ist die richtige. Die Integrale werden natürlich addiert, nicht subtrahiert.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mo 22.04.2013 | | Autor: | roxtar |
Danke für die Antwort!
Dementsprechend die Stammfunktionen und ausgerechnet:
[mm] \integral_{-2}^{1}{\bruch{3}{2}x^2 - 5cos(x)} [/mm] +
[mm] \integral_{1}^{5}{x^3+log(x)} \cong [/mm] 120
Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mo 22.04.2013 | | Autor: | notinX |
> Danke für die Antwort!
> Dementsprechend die Stammfunktionen und ausgerechnet:
> [mm]\integral_{-2}^{1}{\bruch{3}{2}x^2 - 5cos(x)}[/mm] +
> [mm]\integral_{1}^{5}{x^3+log(x)} \cong[/mm] 120
Was ist das denn? Ich ahne, was Du da getrieben hast: Du hast die Funktionen integriert und dann trotzdem das Integral stehen gelassen, richtig? Als naturwiss. Student im Hauptstudium sollte man aber ziemlich gut mit dem Hauptsatz der Integralrechnung bzw. der Notation wie man Integrale aufschreibt vertraut sein. Schau das schnell nochmal nach und hoffe darauf, dass das hier niemand sieht...
>
> Fehler?
Von der abenteuerlichen Notation mal abgesehen hast Du auch falsch integriert. Mach die Probe durch Ableiten, dann solltest Du den Fehler finden.
Zum Vergleich: Das Ergebnis ist ungefähr 129,83
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 22.04.2013 | | Autor: | roxtar |
Ich wollte es mit [F(x)] schreiben mit den Grenzen jeweils unten und oben außerhalb von der schließenden eckigen Klammer, aber dafür hab ich unten keine Formel gefunden. ;)
Zeig mir doch mal als Vergleich deine Stammfunktionen, das würde mich doch mal interessieren nun.
Mein Ergebnis ~120 ist falsch, da ich vergessen habe den Betrag zu nehmen von dem ersten Integral. Ich würde nun ungefähr bei 134 landen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 22.04.2013 | | Autor: | notinX |
> Ich wollte es mit [F(x)] schreiben mit den Grenzen jeweils
> unten und oben außerhalb von der schließenden eckigen
> Klammer, aber dafür hab ich unten keine Formel gefunden.
> ;)
>
> Zeig mir doch mal als Vergleich deine Stammfunktionen, das
> würde mich doch mal interessieren nun.
Wieso machst Du nicht die Probe? Zeig am besten gleich Deine Rechnung wenn Du den Fehler nicht alleine findest.
>
> Mein Ergebnis ~120 ist falsch, da ich vergessen habe den
> Betrag zu nehmen von dem ersten Integral. Ich würde nun
> ungefähr bei 134 landen.
Warum solltest Du den Betrag nehmen? Auch 134 ist falsch, ich habe Dir das richtige Ergebnis doch schon genannt.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 22.04.2013 | | Autor: | roxtar |
Okay okay.. von vorne:
f(x) = 5sinx + 3x
F(X) = -5cos(x) + [mm] \bruch{3}{2}x^2 [/mm]
Wenn ich das ableite komme ich wieder auf f(x).
f(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] 3x^2
[/mm]
F(X) = ln(x) + [mm] x^3
[/mm]
Wenn ich das ableite komme ich wieder auf f(x).
Erstes Integral:
[mm] \bruch{10cos(2)-10cos(1)-9}{2} [/mm] = -9,29
Zweites Integral:
ln(5) + 124 = 125,6
Da eine Fläche nicht negativ sein kann, sprach ich vom Betrag..
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Hallo roxtar,
> Okay okay.. von vorne:
> f(x) = 5sinx + 3x
> F(X) = -5cos(x) + [mm]\bruch{3}{2}x^2[/mm]
> Wenn ich das ableite komme ich wieder auf f(x).
Hm. Hier liegt vielleicht schon das Problem.
In Deinem ersten Post schreibst Du als Funktionsdefinition für [mm] x\le1 [/mm] die Funktion [mm] f(x)=5\sin{(x)}+3, [/mm] ohne $x$ am Ende.
Welche Funktion stimmt denn nun?
Übrigens gehört zur Stammfunktion immer eine Integrationskonstante. Sie fällt bei der Berechnung eines bestimmten Integrals (wie hier) zwar im weiteren weg, aber zur Stammfunktion gehört sie halt.
> f(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + [mm]3x%5E2[/mm]
> F(X) = ln(x) + [mm]x^3[/mm]
> Wenn ich das ableite komme ich wieder auf f(x).
Das ist richtig und stimmt mit der bisherigen Aufgabenstellung überein.
> Erstes Integral:
> [mm]\bruch{10cos(2)-10cos(1)-9}{2}[/mm] = -9,29
Das muss ich mir gerade mal so wie oben aufschreiben (und unter der Voraussetzung, dass dieser Funktionsast wirklich 3x als Summand beinhaltet):
[mm] \left[-5\cos{(x)}+\bruch{3}{2}x^2\right]_{-2}^{1}=(-5\cos{(1)}+\bruch{3}{2}1^2)-(-5\cos{(-2)}+\bruch{3}{2}(-2)^2)=5(\cos{(2)}-\cos{1})+\bruch{3}{2}(1-4)\approx{-9,28224571}
[/mm]
Also ok.
> Zweites Integral:
> ln(5) + 124 = 125,6
Besser 125,609438...
> Da eine Fläche nicht negativ sein kann, sprach ich vom
> Betrag..
Wer hat gesagt, dass Du eine Fläche berechnen sollst? Ein Integral kann ja sehr wohl negativ sein, siehe oben. Da kommt kein Betrag zum Einsatz.
Aber vielleicht klärst Du uns erstmal auf, wie die Funktion für [mm] x\le{1} [/mm] eigentlich heißt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Mo 22.04.2013 | | Autor: | roxtar |
Schande an mich, es handelt sich natürlich um die Funktion f(x) = 5 sin(x) + 3x bei x [mm] \le [/mm] 1 .. Sorry!
125,6094 - 9,2822 = 116,3272 wäre es dann, ohne Betrag. In der Aufgabenstellung steht nichts von Fläche, da hast Du recht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Mo 22.04.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Schande an mich, es handelt sich natürlich um die Funktion
> f(x) = 5 sin(x) + 3x bei x [mm]\le[/mm] 1 .. Sorry!
>
> 125,6094 - 9,2822 = 116,3272 wäre es dann, ohne Betrag.
Na, dann sieht das doch so gut aus.
> In
> der Aufgabenstellung steht nichts von Fläche, da hast Du
> recht.
Oma locuta, causa finita. 
Grüße
reverend
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