Ganzheitsring berechnen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Do 18.10.2012 | | Autor: | ball |
| Aufgabe | | Sei [mm] $K:=\IQ(\wurzel[3]{2})$. [/mm] Zeige, dass [mm] $O_K=\IZ[\wurzel[3]{2}]$ [/mm] gilt, und berechne die Diskriminante [mm] $D_K=disc(O_K/\IZ)$. [/mm] |
Sei [mm] $\alpha:=\wurzel[3]{2}$. [/mm] Es ist [mm] $0=\alpha^3-2$ [/mm] eine Ganzheitsgleichung für [mm] $\alpha$, [/mm] sei [mm] $f=X^3-2$.
[/mm]
Es bezeichne $N$ die Norm [mm] $N_{K/\IQ}$.
[/mm]
Ich weiß, dass [mm]N(f'(\alpha))=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot disc(f)[/mm] gilt und man hat damit (wenn ich mich nicht vertan habe) recht schnell
[mm]-54 = -6\cdot 3^2 = disc(f) = disc(O_K/\IZ) \cdot (O_K : \IZ[\alpha])[/mm]. D.h. wenn man [mm] $O_K=\IZ[\alpha]$ [/mm] gezeigt hat, folgt sofort [mm] $disc(O_K/\IZ)=-54$.
[/mm]
Um zu zeigen, dass [mm] $3\nmid (O_K [/mm] : [mm] \IZ[\alpha])$ [/mm] gilt (damit folgt die Behauptung), steht mir folgender Satz zur Verfügung:
Sei [mm]B\subset O_K[/mm] ein Unterring und [mm] $p\in\IZ$ [/mm] eine Primzahl. Bezeichne [mm] $N:=\sqrt{pB}$ [/mm] das Radikal von $(p)=pB$ in $B$.
Sei weiter [mm]m: B/pB \to End_B(N/pN)\quad b\mapsto (\bar{n} \mapsto \bar{b}\bar{n})[/mm]
Falls nun $ker(m)=0$ gilt, folgt [mm] $p\nmid (O_K [/mm] : [mm] \IZ[\alpha])$.
[/mm]
Eben dies mit [mm] $B=\IZ[\alpha]$ [/mm] und $p=3$ zu zeigen gelingt mir nicht. Ich weiß zwar, dass [mm] $B/3B=\IF_3[\alpha]$ [/mm] gilt, aber ich weiß nicht wie ich mir die Elemente in [mm]N/3N = \sqrt{3\IZ[\alpha]} / 3\sqrt{3\IZ[\alpha]} [/mm] vorstellen soll. Und dementsprechend weiß ich nicht, wie ich hier ansetzen soll...
Vielen Dank schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Do 18.10.2012 | | Autor: | cluso. |
Hallo,
Nun, zum Ganzheitsring.
Weißt du was ich mit "dem Weg über das minimal Polynom" meine?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Do 18.10.2012 | | Autor: | ball |
| Aufgabe | | "Weg über das Minimalpolynom" |
Nein, ich weiß nicht, was damit gemeint ist. Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Sa 20.10.2012 | | Autor: | cluso. |
Hallo,
Ok, ich bin wieder da.
Also: es gilt folgende Aussage:
[mm] \mathecal{O}_{K}=\{z \in K | m_{z}(X) \in \mathbb Z[X] \}.
[/mm]
Nun musst du dir überlegen, was das Minimalpolynom in deinem Fall ist.
Das kannst du so machen:
Das Minimalpolynom einer rationalen Zahl ist .... ?
Das Minimalpolynom von [mm] x+\sqrt[3]{2} [/mm] y mit y ungleich 0 ist .... ( es hat logischer weise nicht den Grad 1)?
cluso.!
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