Gaußklammer (Division m. Rest) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei m von 0 verschiedene ganze Zahl. Dann gibt es für jede ganze Zahl n eindeutig bestimmte ganze Zahlen q,r mit 0[mm]\le[/mm] r<|m| und n=qm+r.
q heißt partieller Quotient und r Rest der Division von n durch m.
a) Zeigen Sie, dass q= floor[mm]\left( \bruch{n}{m} \right)[/mm], wenn m>0 und q= ceil[mm]\left( \bruch{n}{m} \right)[/mm], wenn m<0
b) Zeigen Sie, dass für alle ganzen Zahlen a,b mit b>0 gilt
floor[mm]\left( \bruch{a}{b} \right)[/mm]+1= ceil[mm]\left( \bruch{a+1}{b} \right)[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hoffe hier kann mir [mm] eine_r [/mm] helfen.
Bei Aufgabe a) weiß ich gar nicht, wie ich rangehen soll, außer konkrete Zahlen einzusetzen und zu merken, dass das alles richtig so ist. Kann mir jemand einen Ansatz zeigen?
Bei Aufgabe b) dachte ich mir, ich definiere für floor[mm]\left( \bruch{a}{b} \right)[/mm]=:k für das r mit [mm]r\in[/mm][mm]\left\{ 0,...,b-1 \right\}[/mm] : a= bk+r
Dann müsste die linke Seite ja so aussehen:
floor[mm]\left( \bruch{a}{b} \right)[/mm]+1 = floor[mm]\left( \bruch{bk+r}{b} \right)[/mm]+1 = floor[mm]\left( k+\bruch{r}{b} \right)[/mm]+1 = k+ floor[mm]\left( \bruch{r}{b} \right)[/mm]+1 = k+1
Analog sieht dann auch die rechte Seite aus, am Ende steht k+1. Reicht das als Beweis oder muss ich noch dazuschreiben, was ich gemacht habe?
Danke für eure Hilfe und Antworten!
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Hallo Doppelnull, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du scheinst da nur eine kleine Blockade zu haben.
> Sei m von 0 verschiedene ganze Zahl. Dann gibt es für jede
> ganze Zahl n eindeutig bestimmte ganze Zahlen q,r mit 0[mm]\le[/mm]
> r<|m| und n=qm+r.
> q heißt partieller Quotient und r Rest der Division von n
> durch m.
>
> a) Zeigen Sie, dass q= floor[mm]\left( \bruch{n}{m} \right)[/mm],
> wenn m>0 und q= ceil[mm]\left( \bruch{n}{m} \right)[/mm], wenn m<0
Wenn Du noch einen Backslash vor floor und ceil setzt, kommst Du hier in LaTex. Das allerdings verlangt die Unterscheidung von links und rechts durch vorgesetztes l bzw. r.
Also ergibt \lfloor\bruch{n}{m}\rfloor eben [mm] \lfloor\bruch{n}{m}\rfloor, [/mm] und \lceil\bruch{n}{m}\rceil [mm] \lceil\bruch{n}{m}\rceil.
[/mm]
> b) Zeigen Sie, dass für alle ganzen Zahlen a,b mit b>0
> gilt
> floor[mm]\left( \bruch{a}{b} \right)[/mm]+1= ceil[mm]\left( \bruch{a+1}{b} \right)[/mm]
>
> Ich hoffe hier kann mir [mm]eine_r[/mm] helfen.
Interessante Notation. Der Formeleditor hat Deinen Unterstrich als Befehl für einen folgenden tiefergestellten Index interpretiert.
> Bei Aufgabe a) weiß ich gar nicht, wie ich rangehen soll,
> außer konkrete Zahlen einzusetzen und zu merken, dass das
> alles richtig so ist. Kann mir jemand einen Ansatz zeigen?
Moment. Siehe unten.
> Bei Aufgabe b) dachte ich mir, ich definiere für
> floor[mm]\left( \bruch{a}{b} \right)[/mm]=:k für das r mit
> [mm]r\in[/mm][mm]\left\{ 0,...,b-1 \right\}[/mm] : a= bk+r
> Dann müsste die linke Seite ja so aussehen:
> floor[mm]\left( \bruch{a}{b} \right)[/mm]+1 = floor[mm]\left( \bruch{bk+r}{b} \right)[/mm]+1
> = floor[mm]\left( k+\bruch{r}{b} \right)[/mm]+1 = k+ floor[mm]\left( \bruch{r}{b} \right)[/mm]+1
> = k+1
>
> Analog sieht dann auch die rechte Seite aus, am Ende steht
> k+1. Reicht das als Beweis oder muss ich noch
> dazuschreiben, was ich gemacht habe?
Ich denke, das reicht so.
Warum machst Du es bei Aufgabe a) nicht auch so? Da ist doch nur das Problem, dass m auch kleiner als Null sein kann. Was heißt das für die obere oder untere Gaußklammer? Die "Sprünge" bleiben doch äquidistant.
Eine Fallunterscheidung sollte Dich schnell zum Ziel führen.
> Danke für eure Hilfe und Antworten!
Grüße
reverend
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Danke reverend für Deine erste Hilfe!
Trotzdem muss ich zu a) nochmal nachfragen. Ich definiere jetzt für [mm] \lfloor\bruch{n}{m}\rfloor=:k, [/mm] sodass dann wiederum gilt n=m*k+r. Dann müsste ich am Ende der Gleichung ja nur k als Ergebniss bekommen und dass dann analog auch zur oberen Gaußklammer. Ist das richtig oder bin ich schon betriebsblind nach der ganzen Zeit, die ich hier schon über der Aufgabe sitze?
Vielleicht könntest Du mir ja eine "Ausgangsgleichung" geben?
Lieben Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 So 16.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke reverend für Deine erste Hilfe!
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> Trotzdem muss ich zu a) nochmal nachfragen. Ich definiere
> jetzt für [mm]\lfloor\bruch{n}{m}\rfloor=:k,[/mm] sodass dann
> wiederum gilt n=m*k+r. Dann müsste ich am Ende der
> Gleichung ja nur k als Ergebniss bekommen und dass dann
> analog auch zur oberen Gaußklammer. Ist das richtig oder
> bin ich schon betriebsblind nach der ganzen Zeit, die ich
> hier schon über der Aufgabe sitze?
> Vielleicht könntest Du mir ja eine "Ausgangsgleichung"
> geben?
Mach doch eine Fallunterscheidung und fang mit $n = m k + r$ mit $0 [mm] \le [/mm] r < |m|$ an.
Ist $m > 0$, so gilt $m k [mm] \le [/mm] n = m k + r < m k + m$.
Teile jetzt diese Ungleichungskette durch $m$. Was steht dann da?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 So 16.10.2011 | | Autor: | Zero-Zero |
Wenn ich die Kette mk[mm]\le[/mm]n=mk+r<mk+m durch m teile, dann erhalte ich
k[mm]\le[/mm]n=k+r<k+m
und für m<0, mk[mm]\ge[/mm]n=mk+r>mk+m --> k[mm]\ge[/mm]n=k+r>k+m
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 So 16.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Zero-Zero,
> Wenn ich die Kette mk[mm]\le[/mm]n=mk+r<mk+m durch="" m="" teile,="" dann="" <br="">> erhalte ich
> k[mm]\le[/mm]n=k+r<k+m <br="">>
> und für m<0, mk[mm]\ge[/mm]n=mk+r>mk+m --> k[mm]\ge[/mm]n=k+r>k+m
Das stimmt doch nicht. Du musst schon alles durch m teilen.
Grüße
reverend
</k+m></mk+m>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 So 16.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> und für m<0, mk[mm]\ge[/mm]n=mk+r>mk+m
Hier sind die Relationszeichen teilweise falsch herum, und teilweise bringen sie dir so nicht viel. Beachte, dass $r [mm] \ge [/mm] 0$ ist und $m < 0$!
LG Felix
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