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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Geometrie: Berechnung Sehne aus Kreisbogen und Höhe
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Geometrie: Berechnung Sehne aus Kreisbogen und Höhe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Fr 13.08.2004
Autor: wenzegun

***Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt. ***

Hallo zusammen! Ich habe ein kleines Problem mit einem Kreisabschnitt: Bekannte Größen von diesem "Haldmond" sind die Bogenlänge b und die Höhe h (also Abstand Sehne-Zenit des Kreisbogens) und ich würde gerne die Länge der Sehne berechnen (meiner Meinung muß es für jede gegeben Kombination aus b und h eine eindeutige Lösung geben). Alles, was ich so an Formeln finde, verlangt aber immer nach den Größen Radius r und/oder Zentriwinkel - auch bei Versuchen, die entsprechenden Formeln umzustellen/einzusetzen/aufzulösen, stoße ich an meine Mathe-Grenzen. Könnt Ihr mir vielleicht helfen?
Vielen Dank schonmal im Voraus
Gunnar
***Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt. ***

        
Bezug
Geometrie: Berechnung Sehne aus Kreisbogen und Höhe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Fr 13.08.2004
Autor: Marc

Hallo Gunnar,

[willkommenmr]

> Hallo zusammen! Ich habe ein kleines Problem mit einem
> Kreisabschnitt: Bekannte Größen von diesem "Haldmond" sind
> die Bogenlänge b und die Höhe h (also Abstand Sehne-Zenit
> des Kreisbogens) und ich würde gerne die Länge der Sehne
> berechnen (meiner Meinung muß es für jede gegeben
> Kombination aus b und h eine eindeutige Lösung geben).
> Alles, was ich so an Formeln finde, verlangt aber immer
> nach den Größen Radius r und/oder Zentriwinkel - auch bei
> Versuchen, die entsprechenden Formeln
> umzustellen/einzusetzen/aufzulösen, stoße ich an meine
> Mathe-Grenzen. Könnt Ihr mir vielleicht helfen?

Diese Antwort ist fehlerhaft; bitte ignorieren und Paulus Antwort weiter unten im Strang lesen! (Marc)

Die Bogenlänge berechnet sich zu

[mm] $b=2\pi r*\bruch{\alpha}{360°}$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $b*\bruch{360°}{\alpha}=2\pi [/mm] r$
[mm] $\gdw$ $\bruch{b*360°}{2*\pi*\alpha}=r$ [/mm]

Höhe, Radius und Sehnenlänge stehen in folgender Beziehung:

[mm] $r^2=(r-h)^2+\left(\bruch{s}{2}\right)^2$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $r^2=r^2-2rh+h^2+\bruch{s^2}{4}$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $0=-2rh+h^2+\bruch{s^2}{4}$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $2rh-h^2=\bruch{s^2}{4}$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $8rh-4h^2=s^2$ [/mm]

In diese letzte Gleichung setze ich für r die obige Gleichung ein:

[mm] $s^2=\bruch{4*h*b*360°}{\pi*\alpha}-4h^2$ [/mm]

Ich interpretiere dieses Ergebnis nun so, dass der Halbmond nicht eindeutig durch Höhe h und Bogenlänge b bestimmt ist, denn [mm] \alpha [/mm] ließ sich nicht eliminieren und weitere Zusammenhänge zwischen den Größen sehe ich nicht.
Mit dieser letzten Formel müßte es aber einfach sein, ein Gegenbeispiel zu konstrieren:

Ich gebe mir h=1 und b=5 und [mm] $\alpha_1=30°$ [/mm] und [mm] $\alpha_2=60°$ [/mm] vor und suche die Länge der Sehne

Für [mm] $\alpha_1$: [/mm]
[mm] $s^2=\bruch{4*1*5*360°}{\pi*30°}-4*1^2=\bruch{20*12}{\pi}-4=\bruch{240}{\pi}-4$ $\gdw$ $s=\wurzel{\bruch{240}{\pi}-4}\approx [/mm] 8.51$
Der Radius des Kreises beträgt: [mm] $r=\bruch{5*360°}{2*\pi*30°}=\bruch{30}{\pi}\approx [/mm] 9.55$

Für [mm] $\alpha_2$: [/mm]
[mm] $s^2=\bruch{4*1*5*360°}{\pi*60°}-4*1^2=\bruch{20*6}{\pi}-4=\bruch{120}{\pi}-4$ $\gdw$ $s=\wurzel{\bruch{120}{\pi}-4}\approx [/mm] 5.85$
Der Radius des Kreises beträgt: [mm] $r=\bruch{5*360°}{2*\pi*60°}=\bruch{15}{\pi}\approx [/mm] 4.77$

Bemerkung: Die Rechnung ist zwar richtig (hoffe ich), aber es existiert kein Kreis mit den gegebenen Eigenschaften.

Damit müßten sich jetzt zwei Halbmonde konstruieren lassen, die übereinstimmende Höhe und Bogenlänge haben (ich habe es noch nicht versucht, werde ein Konstruktion später nachliefern).

Viele Grüße,
Marc


Bezug
                
Bezug
Geometrie: Berechnung Sehne aus Kreisbogen und Höhe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:38 Fr 13.08.2004
Autor: wenzegun

Hi Marc!
Dank Dir vielmals für Deine schnelle antwort! Schade nur, daß meine Vorstellung, eine eindeutige Lösung für das Problem zu finden, falsch war. Naja, that´s life...
Schönes WE!

Bezug
                
Bezug
Geometrie: Berechnung Sehne aus Kreisbogen und Höhe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:18 Fr 13.08.2004
Autor: Paulus

Hallo miteinander

>  
> [mm]s^2=\bruch{4*h*b*360°}{\pi*\alpha}-4h^2[/mm]
>  
> Ich interpretiere dieses Ergebnis nun so, dass der Halbmond
> nicht eindeutig durch Höhe h und Bogenlänge b bestimmt ist,
> denn [mm]\alpha[/mm] ließ sich nicht eliminieren und weitere
> Zusammenhänge zwischen den Größen sehe ich nicht.
>  Mit dieser letzten Formel müßte es aber einfach sein, ein
> Gegenbeispiel zu konstrieren:
>  
> Ich gebe mir h=1 und b=5 und [mm]\alpha_1=30°[/mm] und [mm]\alpha_2=60°[/mm]
> vor und suche die Länge der Sehne
>  
> Für [mm]\alpha_1[/mm]:
>  
> [mm]s^2=\bruch{4*1*5*360°}{\pi*30°}-4*1^2=\bruch{20*12}{\pi}-4=\bruch{240}{\pi}-4[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]s=\wurzel{\bruch{240}{\pi}-4}\approx 8.51[/mm]
>  Der Radius
> des Kreises beträgt:
> [mm]r=\bruch{5*360°}{2*\pi*30°}=\bruch{30}{\pi}\approx 9.55[/mm]
>  
>
> Für [mm]\alpha_2[/mm]:
>  
> [mm]s^2=\bruch{4*1*5*360°}{\pi*60°}-4*1^2=\bruch{20*6}{\pi}-4=\bruch{120}{\pi}-4[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]s=\wurzel{\bruch{120}{\pi}-4}\approx 5.85[/mm]
>  Der Radius
> des Kreises beträgt:
> [mm]r=\bruch{5*360°}{2*\pi*60°}=\bruch{15}{\pi}\approx 4.77[/mm]
>  

Ich habe zwar im Moment keine Zeit, diese Aufgabe genauer zu analysieren, aber ich glaube kaum, dass die beiden Beispiele korrekt sein können! Ich werde mich wahrscheinlich erst morgen damit beschäftigen.

Ich denke nämlich, dass die Sehne keinesfalls grösser werden kann als der Bogen $b$. :-)

Ich denke schon, dass die Lösung eindeutig wird, aber ich meine, es gibt keine geschlossene Formel dafür, also nur eine numerische Methode, den Wert auf eine vorgegebene Genauigkeit zu berechnen, da die gesuchte Grösse innerhalb einer Winkelfunktion (sin, cos oder tan) auftaucht und als Faktor auch ausserhalb.
(Nur eine grobe Vermutung, in Anlehnung an das Problem der Ziege, die im Zentrum KORREKTUR: am Rand einer Kreisförmigen Wiese angebunden ist, deren Leinenlänge gesucht ist, so dass die Ziege genau die Hälfte des Grases fressen kann).

Mit lieben Grüssen




Bezug
        
Bezug
Geometrie: Berechnung Sehne aus Kreisbogen und Höhe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Fr 13.08.2004
Autor: Paulus

Hallo Gunnar

also, ich finde doch jetzt etwas Zeit für diese Aufgabe.

Ich will dabei im Bogenmass rechnen. Wenn dir das nicht geläufig ist, können wir nachher ja noch umstellen. :-)

Es gelten ja die 3 Beziehungen (ich denke, die Variablennamen sollten klar sein ;-) :

I) $b = r * [mm] \alpha$ [/mm]

II) [mm] $\tan{\bruch{\alpha}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2h}{s}$ [/mm]

Korrektur: Natürlich ist der Winkel nicht [mm] $\bruch{\alpha}{2}$, [/mm] sondern [mm] $\bruch{\alpha}{4}$ [/mm]

III) [mm] $r^2-(r-h)^2=\bruch{s^2}{4}$ [/mm]

Daraus erhalte ich - die Zwischenschritte überlasse ich mal dir -

$b = [mm] \bruch{s^{2}+4h^{2}}{4h}*\arctan{\bruch{2h}{s}}$ [/mm]

Korrektur: womit auch diese Formel falsch ist! (HoneySugarIceTea)

Und das ist, meiner Meinung nach, nur mittels numerischer Methoden nach $s$ aufzulösen.

Falls dir die Herleitung der Formel oder der Beziehungen nicht gelingt oder du noch einen Fehler darin findest, was durchaus denkbar ist, so meldest du dich bitte wieder.

Mit lieben Grüssen

Bezug
                
Bezug
Geometrie: Berechnung Sehne aus Kreisbogen und Höhe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:07 Mo 16.08.2004
Autor: wenzegun

Hallo Paulus,
dank Dir vielmals für Deine ausführliche Antwort! Ich habe mich dazu entschieden, für die Problemstellung einen praktischen Lösungsansatz zu wählen (es ging um die Volumenberechnung eines Behälters, dessen Wände sich bei Befüllung ausbeulen - jetzt versenke ich das Ding einfach mal und schau dann, wieviel Wasser verdrängt wird). Ich bin aber echt begeistert von der Mühe, die Ihr Euch hier macht - GROSSES LOB!
Eine Frage hätte ich noch...: Was heißt "HoneySugarIceTea"... ich hab da so einen Vermutung... ;-)
Schöne Grüße
Gunnar

Bezug
                        
Bezug
Geometrie: Berechnung Sehne aus Kreisbogen und Höhe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:26 Mo 16.08.2004
Autor: Paulus

Hallo Gunnar
> Hallo Paulus,
>  dank Dir vielmals für Deine ausführliche Antwort! Ich habe
> mich dazu entschieden, für die Problemstellung einen
> praktischen Lösungsansatz zu wählen (es ging um die
> Volumenberechnung eines Behälters, dessen Wände sich bei
> Befüllung ausbeulen - jetzt versenke ich das Ding einfach
> mal und schau dann, wieviel Wasser verdrängt wird). Ich bin
> aber echt begeistert von der Mühe, die Ihr Euch hier macht
> - GROSSES LOB!

Vielen Dank! :-)

>  Eine Frage hätte ich noch...: Was heißt
> "HoneySugarIceTea"... ich hab da so einen Vermutung...
> ;-)

Ich denke, deine Vermutung ist richtig! ;-)

Mit lieben Grüssen



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