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Forum "Physik" - Gleichung lösen
Gleichung lösen < < <
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Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 00:02 So 19/03/2017
Author: mrmrmr

Aufgabe
Gegeben: [mm] $m_0$ [/mm] konstante Masse, [mm] $\alpha$ [/mm] konstante Masse pro Sekunde, [mm] $v_T$ [/mm] konstante Geschwindigkeit, $t$ Zeit, $v(t)$ Geschwindigkeit

Löse [mm] $(m_0 [/mm] - [mm] \alpha [/mm] t) [mm] \dot{v}(t) [/mm] = [mm] \alpha v_T$ [/mm] nach $v(t)$ auf.

Hi,

ich möchte eine Lösung der Gleichung ermitteln.

Dazu stelle ich zunächst um: [mm] $\dot{v}(t) [/mm] = [mm] \frac{\alpha v_T}{m_0 - \alpha t}$ [/mm]

Wie geht das nun weiter?

Wenn ich die rechte Seite von $0$ bis $t$ integriere, kommt das richtige Ergebnis raus:
[mm] $\alpha v_T \int^t_0 \frac{1}{m_0 - \alpha t'} \mathrm{d} [/mm] t' = [mm] \alpha v_T \left[ - \frac{1}{\alpha} \log(m_0 - \alpha t') \right]^{t' = t}_{t' = 0} [/mm] = - [mm] v_T \left( \log(m_0 - \alpha t) - \log(m_0) \right) [/mm] = [mm] v_T \log \left( \frac{m_0}{m_0 - \alpha t} \right) [/mm] $

Aber ich habe keine Ahnung, wieso ich das von $0$ bis $t$ integriere.

Angenommen, ich bestimme nur irgendeine Stammfunktion der rechten Seite, indem ich das unbestimmte Integral löse: $v(t) = - [mm] v_T \log (m_0 [/mm] - [mm] \alpha [/mm] t)$. Wenn man die Einheiten vergisst, wäre das doch auch eine Lösung, oder? Aber wenn man sich die Einheiten an sieht, hat man [mm] $\frac{m}{s} \log(kg)$ [/mm] -- das macht wenig Sinn? Wieso darf ich das so nicht lösen; fehlen mir Mathe Basics?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Gleichung lösen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 01:22 So 19/03/2017
Author: Event_Horizon

Hallo!

Auf der linken Seite integrierst du ja auch. Aber was sollte denn generell sowas wie [mm] $\int \dot v\,dt$ [/mm] darstellen? Sieht zwar aus wie ne Geschwindigkeit, aber physikalisch wird doch erst dann ein Schuh draus, wenn du über eine gewisse Zeit integrierst, also [mm] $\int_{t_1}^{t_2} \dot v\,dt$ [/mm] . Das macht mehr Sinn, denn das ist der Geschwindigkeitszuwachs über den Zeitraum.

Das ist eigentlich immer so, nur die Einheit im Logarithmus macht dir das hier sehr deutlich.

Bezug
        
Bezug
Gleichung lösen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:16 So 19/03/2017
Author: Diophant

Hallo,

> Wenn ich die rechte Seite von [mm]0[/mm] bis [mm]t[/mm] integriere, kommt das
> richtige Ergebnis raus:
> [mm]\alpha v_T \int^t_0 \frac{1}{m_0 - \alpha t'} \mathrm{d} t' = \alpha v_T \left[ - \frac{1}{\alpha} \log(m_0 - \alpha t') \right]^{t' = t}_{t' = 0} = - v_T \left( \log(m_0 - \alpha t) - \log(m_0) \right) = v_T \log \left( \frac{m_0}{m_0 - \alpha t} \right)[/mm]

>

> Aber ich habe keine Ahnung, wieso ich das von [mm]0[/mm] bis [mm]t[/mm]
> integriere.

Man nennt es []Trennung der Variablen...


Gruß, Diophant

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