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Forum "Diskrete Mathematik" - Hohe Potenzen bestimmen
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Hohe Potenzen bestimmen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:58 Mo 29.01.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Was ist die eintausendste nachkommastelle von


[mm] r=(6+\wurzel{37})^{2017} [/mm]

Hallo ihr Lieben,
Wie funktioniert sowas?
Ich hab leider nicht wirklich eine Ahnung 🙈

Wäre super wenn mir da einer mal auf den Sprung helfen könnte...

        
Bezug
Hohe Potenzen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 Di 30.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Was ist die eintausendste nachkommastelle von

>
>

> [mm]r=(6+\wurzel{37})^{2017}[/mm]
> Hallo ihr Lieben,
> Wie funktioniert sowas?
> Ich hab leider nicht wirklich eine Ahnung 🙈

>

> Wäre super wenn mir da einer mal auf den Sprung helfen
> könnte...

Wie so oft bei solchen Aufgaben steckt ein Hintergedanke darin, der die Sache einfacher macht. Es wurde vor einiger Zeit hier eine ähnliche Frage gestellt und ich werde dir den entscheidenden Beitrag am Ende verlinken.

Zunächst sind zwei Dinge wichtig:

1). [mm] 6+\sqrt{37}\approx{12,083} [/mm]

Die erste Nachkommastelle der Basis ist also eine 0.

2). Die Basis (also der Klammerinhalt) ist von folgender Form:

[mm] a=k+\sqrt{k^2+1} [/mm]

Ok, da kann man jetzt fragen, wozu das gut sein soll? Voilà:

[mm]\begin{aligned} \frac{1}{a}&=\frac{1}{k+\sqrt{k^2+1}}\\ \\ &=\frac{-k+\sqrt{k^2+1}}{\left(-k+\sqrt{k^2+1}\right)*\left(k+\sqrt{k^2+1}\right)}\\ \\ &= \frac{-k+\sqrt{k^2+1}}{-k^2+k^2+1}\\ \\ &=-k+\sqrt{k^2+1} \end{aligned}[/mm]

Das bedeutet nämlich, dass deine Basis und ihr Kehrwert die gleiche Nachkommastellenentwicklung haben.

Und mit

[mm] \frac{1}{6+\sqrt{37}}\approx{0.083}[/mm]

sollte die Lösung der Aufgabe jetzt klar sein. Falls nicht: potenziere deine Basis und ihren Kehrwert mal ein bisschen...

Wie gesagt: eine ähnliche Aufgabe wurde vor einiger Zeit hier im  Forum besprochen und das war die entscheidende Antwort:

Antwort von Al-Chwarizmi


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Hohe Potenzen bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:01 Di 30.01.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Diophant,

danke !

Bezug
                
Bezug
Hohe Potenzen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Di 30.01.2018
Autor: Noya

Okay. Vielen Dank.
Die Idee ist nett. Da muss man erstmal drauf kommen :D
Problem : was passiert wenn man keinen Taschenrechner zur Hand hat um das Ergebnis zu wissen von [mm] (6+\wurzel{37})? [/mm]

wenn man weiß, dass beide hier die gleiche Nachkommastellen haben ist es klar, dass die 1000. Nachkommastelle bei [mm] (6+\wurzel{37}) [/mm] ^2017 auch eine 0 sein muss.

Aber Ich muss dafür ja schon die erste Nachkommastelle kennen oder?


Bezug
                        
Bezug
Hohe Potenzen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Di 30.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Okay. Vielen Dank.
> Die Idee ist nett. Da muss man erstmal drauf kommen :D
> Problem : was passiert wenn man keinen Taschenrechner zur
> Hand hat um das Ergebnis zu wissen von [mm](6+\wurzel{37})?[/mm]

Na ja. Die 0 an der ersten Nachkommastelle zu vermuten, wäre schon ziemlich plausibel. Das könnte man dann mit einer Intervallschachtelung zeigen.

Dann gibt es ja durchaus auch einen []Rechenalgorithmus zur Berechnung (auch irrationaler) Quadratwurzeln von Hand.
>

> wenn man weiß, dass beide hier die gleiche
> Nachkommastellen haben ist es klar, dass die 1000.
> Nachkommastelle bei [mm](6+\wurzel{37})[/mm] ^2017 auch eine 0 sein
> muss.

>

> Aber Ich muss dafür ja schon die erste Nachkommastelle
> kennen oder?

Ja. Sonst hat man keine Chance.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Hohe Potenzen bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 30.01.2018
Autor: Noya

Danke!
Hab ich mir direkt mal angeschaut :)



Bezug
                        
Bezug
Hohe Potenzen bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:43 Di 30.01.2018
Autor: abakus


> Okay. Vielen Dank.
>  Die Idee ist nett. Da muss man erstmal drauf kommen :D
>  Problem : was passiert wenn man keinen Taschenrechner zur
> Hand hat um das Ergebnis zu wissen von [mm](6+\wurzel{37})?[/mm]
>
> wenn man weiß, dass beide hier die gleiche
> Nachkommastellen haben

"Wenn man weiß" - darin liegt das Problem.
Dieses Problem wird gleich kleiner,wenn man statt
[mm](6+\wurzel{37})[/mm]  schreibt:
[mm](\wurzel{36}+\wurzel{37})[/mm]
Jetzt wird sichtbarer, dass  [mm]\wurzel{37}[/mm] nur ganz geringfügig größer ist als  [mm]\wurzel{36}=6[/mm] .

Bezug
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