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Forum "Topologie und Geometrie" - Homöomorphismen der Scheibe
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Homöomorphismen der Scheibe: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Sa 16.09.2017
Autor: Laura22

Hi,

angenommen wir geben uns eine abgeschlossene Scheibe mit Radius 2 im [mm] \IR^2 [/mm] um den Ursprung (0,0) vor und nennen diese D und im Innern dieser Scheibe liege der Weg [mm] \gamma(t) [/mm] := {(t,0) : t [mm] \in [/mm] [0,1]}. Kann man einen Homöomorphismus f:D [mm] \to [/mm] D konstruieren, der zum einen den Weg [mm] \gamma(t) [/mm] auf den Weg [mm] \gamma(t) [/mm] := {(t,0) : t [mm] \in [/mm] [-1,1]} streckt und zugleich auf dem Rand der Scheibe die Identität ist?

Viele Grüße und danke sehr für alle Hinweise,
Laura

        
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Homöomorphismen der Scheibe: erste Ideen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Sa 16.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Laura,

Dass es derartige Homöomorphismen geben muss, ist
anschaulich eigentlich sofort klar. Die andere Frage ist,
ob man einen derartigen Homöomorphismus "leicht"
konstruieren und mittels Formeln beschreiben kann.

Mir schwebt eine Art "unregelmäßiger zentrischer Streckung"
mit dem Zentrum im Punkt Z(1|0) vor, bei welcher der
Streckungsfaktor von der Richtung des jeweiligen Abbildungs-
strahls und von der Lage des abzubildenden Punktes auf diesem
Strahl abhängig ist. Für jeden Punkt auf dem Kreis mit
Radius 2 muss der Streckfaktor gleich 1 sein, damit der Punkt
auf sich selber abgebildet wird. Z.B. muss aber der Streckfaktor
für den Punkt O(0|0) gleich 2 sein, damit dieser Punkt auf
den Bildpunkt (-1|0) abgebildet wird.

LG ,  Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Homöomorphismen der Scheibe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Sa 16.09.2017
Autor: Laura22

Ja, sowas wird man wohl machen müssen. Alle anderen Ideen, die ich noch selbst hatte, gehen nur, wenn der Homöo. ein Diffeomorphismus ist. Dann könnte man z.B. eine Isotopie definieren zwischen der Identität und dem Streckungshomöo auf dem Weg und den dann auf die Scheibe erweitern durch Erweitern des zugehörigen Vektorfeldes. Dann hätte man auch die Identität auf dem Rand. Aber wie gesagt, es handelt sich nicht um einen Diffeomorphismus.
Weitere Frage dazu: Angenommen wir betrachten den Mittelpunkt nun nicht mehr in (0,0), sondern in z.B. (0.5,0), statt einer Scheibe mit Radius 2 betrachte eine Scheibe mit Radius 1 und statt bis x-Wert -1 zu strecken, strecken wir bis -0.5. D.h. diesmal läge das "Streckungszentrum" auf dem Rand der Scheibe. Ändert das was am Vorgehen oder an der Existenz? Müsste doch eigentlich auch noch gehen, oder? (Grund der Frage: Man hat mir gesagt, dass es dann keinen Homöo geben würde, ich verstehe aber nicht, warum...)

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Bezug
Homöomorphismen der Scheibe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 So 17.09.2017
Autor: donquijote


> Ja, sowas wird man wohl machen müssen. Alle anderen Ideen,
> die ich noch selbst hatte, gehen nur, wenn der Homöo. ein
> Diffeomorphismus ist. Dann könnte man z.B. eine Isotopie
> definieren zwischen der Identität und dem Streckungshomöo
> auf dem Weg und den dann auf die Scheibe erweitern durch
> Erweitern des zugehörigen Vektorfeldes. Dann hätte man
> auch die Identität auf dem Rand. Aber wie gesagt, es
> handelt sich nicht um einen Diffeomorphismus.
>  Weitere Frage dazu: Angenommen wir betrachten den
> Mittelpunkt nun nicht mehr in (0,0), sondern in z.B.
> (0.5,0), statt einer Scheibe mit Radius 2 betrachte eine
> Scheibe mit Radius 1 und statt bis x-Wert -1 zu strecken,
> strecken wir bis -0.5. D.h. diesmal läge das
> "Streckungszentrum" auf dem Rand der Scheibe. Ändert das
> was am Vorgehen oder an der Existenz? Müsste doch
> eigentlich auch noch gehen, oder? (Grund der Frage: Man hat
> mir gesagt, dass es dann keinen Homöo geben würde, ich
> verstehe aber nicht, warum...)

Hallo,
so wie ich deine Beschreibung verstehe, müsste doch dann [mm]f(0,0)=f(-0.5,0)=(-0.5,0)[/mm] gelten, so dass es keine bijektive Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften geben kann.


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Homöomorphismen der Scheibe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 Do 21.09.2017
Autor: Laura22

Hallo, danke für deine Antwort. Nein, denn man verwendet ja eine andere Streckung. Grundsätzlich lässt sich aber, wie ich herausgefunden habe, das gewünschte Resultat aber folgern, wenn man das Schoenflies-Theorem benutzt.

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Homöomorphismen der Scheibe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:10 Sa 16.09.2017
Autor: Laura22

Vergessen zu erwähnen: Wie man zeigt, dass der eine Weg zum anderen homöomorph streckt, ist mir vollkommen klar. Nur den Homöomorphismus auf die Scheibe auszudehnen, s.d. er auf dem Rand die Identität ist, ist mir absolut nicht klar...

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Homöomorphismen der Scheibe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:23 Sa 16.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Vergessen zu erwähnen: Wie man zeigt, dass der eine Weg
> zum anderen homöomorph streckt, ist mir vollkommen klar.
> Nur den Homöomorphismus auf die Scheibe auszudehnen, s.d.
> er auf dem Rand die Identität ist, ist mir absolut nicht
> klar...

Das ist mir im Moment auch noch nicht ganz klar, aber ich
habe doch eine Idee angegeben, wie man eventuell zu
einer entsprechenden Abbildungsformel kommen könnte.

LG


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Homöomorphismen der Scheibe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:51 Sa 16.09.2017
Autor: Laura22

Ja, das stimmt! Das Problem ist nur, dass ich die Mitteilung geschickt hatte, als ich Ihre/deine Antwort noch nicht gelesen hatte. Danke in jedem Fall schon mal!
Lg Laura

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Homöomorphismen der Scheibe: Versuch einer Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 So 17.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Laura,

ich habe nun etwas Geometrie betrieben und eine
Abbildungsformel konstruiert, die, wie ich meinte,
das Problem lösen sollte.
Ich gebe einfach mal die Abbildungs-
formel an und werde allenfalls nachher auf Fragen
zu ihrer Konstruktion eingehen:


    [mm] $\quad \pmat{x\\y}\quad \mapsto\quad \pmat{1\\0}\ [/mm] +\ [mm] \left[\,3-\frac{x}{2}-\sqrt{(x-1)^2+\frac{3}{4}\,y^2\,}\,\,\right]\,*\,\pmat{x-1\\y}$ [/mm]


Leider musste ich dann feststellen, dass diese Abbildung
zwar einen Teil der geforderten Bedingungen erfüllt,
aber eben halt doch nicht alle. Jetzt muss ich schauen,
ob sich der Fehler durch eine besser ausgeklügelte
Formel korrigieren lässt ...

LG und schönen Sonntag !

Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Homöomorphismen der Scheibe: zweiter Anlauf
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:05 So 17.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi

     [mm]\quad \pmat{x\\y}\quad \mapsto\quad \pmat{1\\0}\ +\ \left[\,3-\frac{x}{2}-\sqrt{(x-1)^2+\frac{3}{4}\,y^2\,}\,\,\right]\,*\,\pmat{x-1\\y}[/mm]

Durch diese Abbildung wird zwar das Intervall [0..+1]
auf das Intervall [-1..+1] und der Kreis  k: [mm] x^2+y^2=4 [/mm]
auf sich selbst abgebildet. Aber gewisse Punkte innerhalb
der Kreisscheibe werden nach draußen abgebildet, und
umgekehrt. Die Abbildung bildet also quasi am Rand
einen überlappenden Wulst, der manchen an seine
eigene Bauchregion in der Gegend des Gürtels erinnern
könnte.
Um diesen Fehler zu bereinigen, habe ich eine neue
Formel entwickelt, die leider noch ein wenig komplizierter
aussieht:


[mm]\quad \pmat{x\\y}\quad \mapsto\quad \pmat{1\\0}\ +\ \left[\, x^2+y^2+\,\frac{x^2-y^2}{4}-4x+6 +(x-4)\,*\,\sqrt{(x-1)^2+\frac{3}{4}\,y^2\,}\,\,\right]\,*\,\pmat{x-1\\y}[/mm]


Jetzt bleibt die Aufgabe, die Eigenschaften dieser
Abbildung zu verifizieren und mit den Anforderungen
zu überprüfen.

LG ,   Al-Chw.



  



Bezug
                        
Bezug
Homöomorphismen der Scheibe: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:44 So 17.09.2017
Autor: Laura22

Wahnsinn, ein wirklich klasse Beitrag! Ich muss zugegebenermaßen erstmal in Ruhe versuchen die Abbildungsvorschrift nachzuvollziehen. Aber mein Dankeschön wollte ich schon mal da lassen! Ebenfalls noch einen schönen Sonntag und viele Grüße,
Laura

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