matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenInhomog lineare DGL 2. Ordnung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Inhomog lineare DGL 2. Ordnung
Inhomog lineare DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Inhomog lineare DGL 2. Ordnung: Hilfe bei Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Sa 03.12.2016
Autor: Stala

Aufgabe
Man bestimme die allgemeine LÖsung der inhomogenen Gleichung

y'' + [mm] 2\rho [/mm] y'  + [mm] \omega_0^2y [/mm] = a [mm] \cos(\omega [/mm] x)

im Fall [mm] \omega_0 [/mm] > [mm] \rho [/mm] und [mm] \omega_0, \rho, [/mm] a [mm] \omega [/mm] pos. reelle Konstanten

Tipp: Es empfiehlt sich nicht eine Variation der Konstanten durchzuführen. Es darf ohne Beweis die Beziehung verwnedet werden:
A [mm] \cos \omega [/mm] x + B [mm] \sin \omega [/mm] x = [mm] \sqrt{A^2 + B^2} \sin (\omega [/mm] x + [mm] \varphi) [/mm] mit [mm] \varphi \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi[ [/mm]

Hallo liebes Forum. Ich grübele schon eine ganze Weile über der LÖsung dieser Aufgaben. In einer vorhergehenden Teilaufgabe habe ich als Fundamentalsystem der homogenen Gleichung im Fall [mm] \omega [/mm] > [mm] \rho [/mm] errechnet:

y = [mm] \left( e^{-\rho x} \cos \left(x\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2}\right) , e^{-\rho x} \sin \left(x\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2}\right) \right) [/mm]



Für die inhomogene Gleichung soll man ja einen speziellen Ansatz wählen. Aus der VL ist der Satz bekannt:

Sind die Koeffezienten der DGL

[mm] y^{n} [/mm] + [mm] a_1 y^{(n-1)} [/mm] ... + [mm] a_n [/mm] y = [mm] x^s e^{\alpha x} \cos (\beta [/mm] x)

reell und ist r die Ordnung von [mm] \alpha [/mm] + i [mm] \beta [/mm] als Nullstelle des char. Polynoms, so hat die DGL eine Lösung der Form:

[mm] y_0 [/mm] = (P(x) [mm] \cos (\beta [/mm] x) + Q(x) [mm] \sin ((\beta x)))e^{\alpha x} [/mm]

wo P und Q Polynome sind, deren Grad höchstens r+s ist.




Die Voraussetzungen sind ja alle erfüllt, die Nullstelle des char. Polynoms ist  [mm] \( \lambda_1 [/mm] = - [mm] \rho [/mm] - [mm] i\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2} \) [/mm] und [mm] \( \lambda_2 [/mm] = - [mm] \rho [/mm] + [mm] i\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2} \), [/mm] also r=0. Außerdem sind s = [mm] \alpha [/mm] = 0, also müsste ich ja mit dem Ansatz P;Q relle Konstanten sein.

[mm] y_0(x) [/mm] = [mm] A(\cos (\omega [/mm] x) + [mm] B\sin (\omega [/mm] x)) =  [mm] \sqrt{A^2 + B^2} \sin (\omega [/mm] x + [mm] \varphi) [/mm]  zum Erfolg gelangen.

Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:

[mm] \sqrt{A^2 + B^2} \left( -\omega^2 \sin(\omega x + \varphi) + 2\rho \omega \cos(\omega x + \varphi) + \omega_0^2 \sin(\omega x + \varphi) \right) [/mm] = a [mm] \cos(\omega [/mm] x)

Weitere Umformungen führen auf:

[mm] \sqrt{A^2 + B^2} [/mm] = [mm] \frac{a \cos(\omega x)}{\left( (\omega_0^2-\omega^2) \sin(\omega x + \varphi) + 2\rho \omega \cos(\omega x + \varphi) \right)} [/mm]

Kann mir jemand sagen, ob ich hier weitermachen muss? Oder ob ich völlig auf dem falschen Dampfer bin?

VG



        
Bezug
Inhomog lineare DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Sa 03.12.2016
Autor: donquijote


> Man bestimme die allgemeine LÖsung der inhomogenen
> Gleichung
>  
> y'' + [mm]2\rho[/mm] y'  + [mm]\omega_0^2y[/mm] = a [mm]\cos(\omega[/mm] x)
>  
> im Fall [mm]\omega_0[/mm] > [mm]\rho[/mm] und [mm]\omega_0, \rho,[/mm] a [mm]\omega[/mm] pos.
> reelle Konstanten
>  
> Tipp: Es empfiehlt sich nicht eine Variation der Konstanten
> durchzuführen. Es darf ohne Beweis die Beziehung verwnedet
> werden:
>   A [mm]\cos \omega[/mm] x + B [mm]\sin \omega[/mm] x = [mm]\sqrt{A^2 + B^2} \sin (\omega[/mm]
> x + [mm]\varphi)[/mm] mit [mm]\varphi \in[/mm] [0, 2 [mm]\pi[[/mm]
>  Hallo liebes Forum. Ich grübele schon eine ganze Weile
> über der LÖsung dieser Aufgaben. In einer vorhergehenden
> Teilaufgabe habe ich als Fundamentalsystem der homogenen
> Gleichung im Fall [mm]\omega[/mm] > [mm]\rho[/mm] errechnet:
>  
> y = [mm]\left( e^{-\rho x} \cos \left(x\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2}\right) , e^{-\rho x} \sin \left(x\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2}\right) \right)[/mm]
>
>
>
> Für die inhomogene Gleichung soll man ja einen speziellen
> Ansatz wählen. Aus der VL ist der Satz bekannt:
>  
> Sind die Koeffezienten der DGL
>  
> [mm]y^{n}[/mm] + [mm]a_1 y^{(n-1)}[/mm] ... + [mm]a_n[/mm] y = [mm]x^s e^{\alpha x} \cos (\beta[/mm]
> x)
>  
> reell und ist r die Ordnung von [mm]\alpha[/mm] + i [mm]\beta[/mm] als
> Nullstelle des char. Polynoms, so hat die DGL eine Lösung
> der Form:
>  
> [mm]y_0[/mm] = (P(x) [mm]\cos (\beta[/mm] x) + Q(x) [mm]\sin ((\beta x)))e^{\alpha x}[/mm]
>  
> wo P und Q Polynome sind, deren Grad höchstens r+s ist.
>  
>
>
>
> Die Voraussetzungen sind ja alle erfüllt, die Nullstelle
> des char. Polynoms ist  [mm]\( \lambda_1[/mm] = - [mm]\rho[/mm] -
> [mm]i\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2} \)[/mm] und [mm]\( \lambda_2[/mm] = - [mm]\rho[/mm] +
> [mm]i\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2} \),[/mm] also r=0. Außerdem sind s
> = [mm]\alpha[/mm] = 0, also müsste ich ja mit dem Ansatz P;Q relle
> Konstanten sein.
>  
> [mm]y_0(x)[/mm] = [mm]A(\cos (\omega[/mm] x) + [mm]B\sin (\omega[/mm] x)) =  [mm]\sqrt{A^2 + B^2} \sin (\omega[/mm]
> x + [mm]\varphi)[/mm]  zum Erfolg gelangen.

Hallo,
bis hier sieht alles gut aus.
Du solltest an dieser Stelle die Ansatzfunktion in der Form [mm]A\cos\omega x+B\sin\omega x[/mm] in die DGL einsetzen. Dann bekommst du durch Koeffizientenvergleich zwei Gleichungen, mit denen du A und B bestimmen kannst.

>
> Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:
>
> [mm]\sqrt{A^2 + B^2} \left( -\omega^2 \sin(\omega x + \varphi) + 2\rho \omega \cos(\omega x + \varphi) + \omega_0^2 \sin(\omega x + \varphi) \right)[/mm]
> = a [mm]\cos(\omega[/mm] x)
>
> Weitere Umformungen führen auf:
>
> [mm]\sqrt{A^2 + B^2}[/mm] = [mm]\frac{a \cos(\omega x)}{\left( (\omega_0^2-\omega^2) \sin(\omega x + \varphi) + 2\rho \omega \cos(\omega x + \varphi) \right)}[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen, ob ich hier weitermachen muss? Oder
> ob ich völlig auf dem falschen Dampfer bin?
>  
> VG
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Inhomog lineare DGL 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:07 Sa 03.12.2016
Autor: Stala

Danke, das war danach noch sehr viel Rehnerei und Umformerei, aber so bin ich auf ein Ergebnis gekommen, dass sinnvoll aussieht.

Vielen Dank!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 54m 9. matux MR Agent
UAuslg/Amann Escher , Analysis 1
Status vor 12h 34m 3. Steffi21
S8-10/Strahlensätze
Status vor 14h 51m 1. Zac9908
UTopoGeo/Differentialgeometrie
Status vor 17h 34m 2. donquijote
ZahlTheo/Beschränkte Folge
Status vor 19h 04m 2. matux MR Agent
LaTeX/Fehlersuche bei Befehlen
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]