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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Inhomogene DGL lösen
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Inhomogene DGL lösen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 Mi 07.11.2012
Autor: monstre123

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL: y''-2y'+2y=sin2x

Guten Abend,

bei der Aufgabe bin ich wie folgt vorgegangen:

1.Homogene DGL bestimmen --> charakteristisches Polynom bilden

[mm] \lambda^2-2*\lambda+2=0 [/mm]  --> [mm] \lambda_1=1+i [/mm]  und [mm] \lambda_2=1-i [/mm]

Daraus folgt für homog. DGL: [mm] y_h=C_1*e^xcosx+C_2*e^xsinx [/mm]


2.Partikuläre DGL lösen:

Ansatz: [mm] y_p=x*(Asin2x+Bcos2x) [/mm]

[mm] y^{'}_{p}=A*sin(2x)+B*cos(2x)+x*[2A*cos(2x)-2*B*sin(2x)] [/mm]

[mm] y^{''}_{p}=2Acos2x-2Bsin2x+2Acos2x-2Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x]=4Acos2x-4Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x] [/mm]


4Acos2x-4Bsin2x+x*[-4Asin2x-4Bcos2x]-2Asin2x-2Bcos2x+2x*[2Acos2x-2Bsin2x]+2x*[Asin2x+Bcos2x]=sin2x


Jetzt der Koeffizientenvergleich:

Es sind ja nur die sin2x und cos2x teile interessant (muss ich auch die teile mit x berücksichtigen?):

cos2x[4A-2B]+sin2x[-2A-4B]

(I)  4A-2B=0
(II) -2A-4B=1

(I)+2*(I):  -10B=2  --> B=-1/5   -->  A=-1/10

[mm] y_p=x*[-1/10sin2x-1/5cos2x] [/mm]

soweit alles richtig?


Danke vorab für die Korrektur.

        
Bezug
Inhomogene DGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Mi 07.11.2012
Autor: MathePower

Hallo monstre123,

> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL:
> y''-2y'+2y=sin2x
>  Guten Abend,
>  
> bei der Aufgabe bin ich wie folgt vorgegangen:
>  
> 1.Homogene DGL bestimmen --> charakteristisches Polynom
> bilden
>  
> [mm]\lambda^2-2*\lambda+2=0[/mm]  --> [mm]\lambda_1=1+i[/mm]  und
> [mm]\lambda_2=1-i[/mm]
>  
> Daraus folgt für homog. DGL: [mm]y_h=C_1*e^xcosx+C_2*e^xsinx[/mm]
>  
>
> 2.Partikuläre DGL lösen:
>  
> Ansatz: [mm]y_p=x*(Asin2x+Bcos2x)[/mm]
>  


Es reicht hier der Ansatz

[mm]y_p=Asin2x+Bcos2x[/mm]

,da [mm]\sin\left(2x\right)[/mm] keine Lösung der homogenen DGL ist.


> [mm]y^{'}_{p}=A*sin(2x)+B*cos(2x)+x*[2A*cos(2x)-2*B*sin(2x)][/mm]
>  
> [mm]y^{''}_{p}=2Acos2x-2Bsin2x+2Acos2x-2Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x]=4Acos2x-4Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x][/mm]
>  
>
> 4Acos2x-4Bsin2x+x*[-4Asin2x-4Bcos2x]-2Asin2x-2Bcos2x+2x*[2Acos2x-2Bsin2x]+2x*[Asin2x+Bcos2x]=sin2x
>  
>
> Jetzt der Koeffizientenvergleich:
>  
> Es sind ja nur die sin2x und cos2x teile interessant (muss
> ich auch die teile mit x berücksichtigen?):
>  
> cos2x[4A-2B]+sin2x[-2A-4B]
>  
> (I)  4A-2B=0
>  (II) -2A-4B=1
>


Hier hast Du etwas durcheinander gebracht:

[mm](I) 4\blue{B}-2\blue{A}=\blue{1}[/mm]
[mm](II) -2\blue{B}-4\blue{A}=\blue{0][/mm]


> (I)+2*(I):  -10B=2  --> B=-1/5   -->  A=-1/10

>  
> [mm]y_p=x*[-1/10sin2x-1/5cos2x][/mm]
>  
> soweit alles richtig?
>  
>
> Danke vorab für die Korrektur.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Inhomogene DGL lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Mi 07.11.2012
Autor: monstre123


> Hallo monstre123,
>  
> > Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL:
> > y''-2y'+2y=sin2x
>  >  Guten Abend,
>  >  
> > bei der Aufgabe bin ich wie folgt vorgegangen:
>  >  
> > 1.Homogene DGL bestimmen --> charakteristisches Polynom
> > bilden
>  >  
> > [mm]\lambda^2-2*\lambda+2=0[/mm]  --> [mm]\lambda_1=1+i[/mm]  und
> > [mm]\lambda_2=1-i[/mm]
>  >  
> > Daraus folgt für homog. DGL: [mm]y_h=C_1*e^xcosx+C_2*e^xsinx[/mm]
>  >  
> >
> > 2.Partikuläre DGL lösen:
>  >  
> > Ansatz: [mm]y_p=x*(Asin2x+Bcos2x)[/mm]
>  >  
>
>
> Es reicht hier der Ansatz
>  
> [mm]y_p=Asin2x+Bcos2x[/mm]
>  
> ,da [mm]\sin\left(2x\right)[/mm] keine Lösung der homogenen DGL
> ist.
>  
>
> > [mm]y^{'}_{p}=A*sin(2x)+B*cos(2x)+x*[2A*cos(2x)-2*B*sin(2x)][/mm]
>  >  
> >
> [mm]y^{''}_{p}=2Acos2x-2Bsin2x+2Acos2x-2Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x]=4Acos2x-4Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x][/mm]
>  >  
> >
> >
> 4Acos2x-4Bsin2x+x*[-4Asin2x-4Bcos2x]-2Asin2x-2Bcos2x+2x*[2Acos2x-2Bsin2x]+2x*[Asin2x+Bcos2x]=sin2x
>  >  
> >
> > Jetzt der Koeffizientenvergleich:
>  >  
> > Es sind ja nur die sin2x und cos2x teile interessant (muss
> > ich auch die teile mit x berücksichtigen?):
>  >  
> > cos2x[4A-2B]+sin2x[-2A-4B]
>  >  
> > (I)  4A-2B=0
>  >  (II) -2A-4B=1
>  >

>
>
> Hier hast Du etwas durcheinander gebracht:
>  
> [mm](I) 4\blue{B}-2\blue{A}=\blue{1}[/mm]
>  [mm](II) -2\blue{B}-4\blue{A}=\blue{0][/mm]
>  
>

Mein Ansatz wäre aber auch okay, wenn ich das so weiterführe oder?


> > (I)+2*(I):  -10B=2  --> B=-1/5   -->  A=-1/10

>  >  
> > [mm]y_p=x*[-1/10sin2x-1/5cos2x][/mm]
>  >  
> > soweit alles richtig?




>  >  
> >
> > Danke vorab für die Korrektur.
>
>
> Gruss
>  MathePower


Bezug
                        
Bezug
Inhomogene DGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Mi 07.11.2012
Autor: leduart

Hallo
dein Ansatz mit Faktor x ist nicht richtig, wenn du ihn wirklich durchführst muss ja der Teil mit Faktoren x 0 sein , dann bekommst du A=B=0
Also , da 2i nicht ein [mm] \lambda [/mm] ist musst du wirklich nur mit dem Ansatz ohne x rechnen.
Dein ansatz wäre nur richtig, wenn sin(2x) bzw cos(2x) schon Lösung der homogenen wäre.

Gruss leduart

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