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Integral: Tipp
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:17 Sa 03/02/2018
Author: Son

Aufgabe
Wie berechnet man die folgende Funktion?
[mm] \integral_{[0,\infty)} e^{-x|y|}* \bruch{y}{1+(y^2)} d\lambda(y) [/mm]

Wie kann man das integral berechnen? Ich hatte schon gezeigt dass es Lebesgue integrierbar ist...

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:56 So 04/02/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

ist das Integral wirklich so gegeben?
Das Betragszeichen im Integral macht bspw. gar keinen Sinn, da [mm] $y\in [0,\infty)$ [/mm]
Welche Informationen liegen über x vor? Ist bspw. $x [mm] \ge [/mm] 0$?

Fragen über Fragen…

Gruß,
Gono

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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:00 So 04/02/2018
Author: Son

[mm] f:\IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR. [/mm] f(x,y)=$ [mm] \integral_{[0,\infty)} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}* 1_{[-1,\infty)} d\lambda(y) [/mm] $.
Entschuldigung , hatte die indikatorfunktion vergessen.

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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:47 So 04/02/2018
Author: Son

Jetzt ist sie richtig:
$ [mm] \integral_{\IR} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\cdot{} 1_{[-1,\infty)} d\lambda(y) [/mm] $


Bezug
                                
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:08 So 04/02/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Jetzt ist sie richtig:
>  [mm]\integral_{\IR} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\cdot{} 1_{[-1,\infty)} d\lambda(y)[/mm]

also erst mal: In der Indikatorfunktion fehlt das Argument. Man weiß also nicht, ob $x$ oder $y$ da drin steht. Dann ändert sich mit jedem Post dein Integrationsbereich…

wenn ich jetzt raten sollte:
[mm]\integral_{\IR} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\cdot{} 1_{[-1,\infty)}(x)\, d\lambda(y)[/mm]

stimmt das?
Kann aber gar nicht, weil das Integral dann gar nicht für alle x wohldefiniert ist… weiterhin Fragen über Fragen…

Gruß,
Gono

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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:52 So 04/02/2018
Author: Son

Sie hatten recht. Die Funktion wurde in der Aufgabe falsch abgetippt:
Es müsste so sein:

    $ [mm] \integral_{\IR} \integral_{\IR} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\cdot{}1_{[0,\infty)}(x) 1_{[-1,\infty)}(y)\, d\lambda(y) d\lambda(x) [/mm] $

So ist sie jetzt richtig.

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Bezug
Integral: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:29 So 04/02/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

es gilt:
$ [mm] \integral_{\IR} \integral_{\IR} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\cdot{}1_{[0,\infty)}(x) 1_{[-1,\infty)}(y)\, d\lambda(y) d\lambda(x) [/mm] = [mm] \integral_{0}^\infty \integral_{-1}^\infty e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\, d\lambda(y) d\lambda(x) [/mm] = [mm] \integral_{0}^\infty \integral_{-1}^0 e^{xy}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\, d\lambda(y) d\lambda(x) [/mm] + [mm] \integral_{0}^\infty \integral_{0}^\infty e^{-xy}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\, d\lambda(y) d\lambda(x)$ [/mm]

Beide Summanden lassen sich nun leicht mit Hilfe des Satzes von Fubini lösen.
Begründe noch, warum du diesen anwenden darfst.

Gruß,
Gono

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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:46 Mo 05/02/2018
Author: Son

Vielen Dank für den Tipp.
Also ich hab am Ende [mm] \bruch{3}{4} \pi [/mm] herausbekommen. Kann es stimmen?

Bezug
                                
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 21:01 Mo 05/02/2018
Author: fred97


> Vielen Dank für den Tipp.
>  Also ich hab am Ende [mm]\bruch{3}{4} \pi[/mm] herausbekommen. Kann
> es stimmen?

Es kann stimmen,  oder auch nicht.  Wie wäre es,wenn Du Deine Rechnungen präsentierst.

Das hilft der Hilfe ungemein!


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