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Forum "Integralrechnung" - Integralrechnung
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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Do 12.08.2010
Autor: capablanca

Aufgabe
[mm] \bruch{2A}{T}(\integral_{0}^{T/2}{cos(nwt)dt}+\bruch{1}{2}\integral_{T/2}^{T}{cos(nwt)dt}) [/mm]

mit w = 2pi/T

Hallo, die Lösung von dieser Aufgabe ist:

[mm] \bruch{2A}{[red] nw [/red]T}(sin(nwt)|_0^{T/2}+\bruch{1}{2}sin(nwt)|_{T/2}^T)=0 [/mm]

Stammintegral von cos ist sin.
Ich kann den Rechenweg nachvolziehen, mir ist nur unklar wie "nw" im rot markierten Beerich zustande kommt, da sollte doch nur T stehen woher kommt da auf einmal "nw" dazu?

Bitte um Tipps


gruß


        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 Do 12.08.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Alex,

>
> [mm] $\bruch{2A}{T}(\integral_{0}^{T/2}{cos(nwt)dt}+\bruch{1}{2}\integral_{T/2}^{T}{cos(nwt)dt})$ [/mm]
>  
> mit w = 2pi/T
>  Hallo, die Lösung von dieser Aufgabe ist:
>  
> [mm] $\bruch{2A}{\red{nw}T}(sin(nwt)|_0^{T/2}+\bruch{1}{2}sin(nwt)|_{T/2}^T)=0$ [/mm]

>  
> Stammintegral von cos ist sin.
>  Ich kann den Rechenweg nachvolziehen, mir ist nur unklar
> wie "nw" im rot markierten Beerich zustande kommt?

Na, das ist der "Ausgleichsfaktor", der die Kettenregel berücksichtigt.

Wenn das "Stammintegral" von [mm] $\cos(nwt)$ [/mm] "nur" [mm] $\sin(nwt)$ [/mm] wäre, so müsste ja, wenn du's wieder ableitest, wieder [mm] $\cos(nwt)$ [/mm] herauskommen.

Aber [mm] $\left[\sin(nwt)\right]'=\cos(nwt)\cdot{}\red{nw}$ [/mm] (Kettenregel)

Diesen störenden Faktor bekommst du weg, wenn du vor das Stammintegral entsprechend den Faktor [mm] $\frac{1}{nw}$ [/mm] setzt.

Formal berechnet sich [mm] $\int{\cos(nwt) \ dt}$ [/mm] mit der linearen Substitution $u=u(t):=nwt$

Damit [mm] $u'(t)=\frac{du}{dt}=nw$, [/mm] also [mm] $dt=\frac{du}{nw}$ [/mm]

Damit wird das Integral zu [mm] $\int{\cos(u) \ \frac{du}{nw}}=\frac{1}{nw}\cdot{}\int{\cos(u) \ du}\ldots$ [/mm]

>  
> Bitte um Tipps
>  
>
> gruß
>  


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Integralrechnung: verstanden, danke dir
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:05 Do 12.08.2010
Autor: capablanca

Danke dir für die sehr ausführliche und gut vertständliche Erklärung!


gruß

Bezug
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