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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Isometrie zeigen
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Isometrie zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Do 23.06.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Seien U,V Unterräume mit gleicher Dimension in einem euklidischen Vektorraum W. Zeigen Sie, dass es eine Isometrie f: U->V gibt.

Hallo,

ich bitte um einen kleinen Denkanstoß, um die Aufgabe zu lösen.

Isometrie bedeutet: [mm] \forall [/mm] v,w: <v,w> = <f(v), f(w)>

< , > Standardskalarprodukt.
Wie kann ich das geschickt anwenden?  Oder gibt es eine andere Alternative? Wenn ja, bitte diese nennen, je mehr Wege, desto besser für's Verständnis.


Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Isometrie zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Do 23.06.2016
Autor: hippias

Für Vektorräume (ohne Skalarprodukt) sind Räume gleicher Dimension bekanntermassen isomorph - ich würde nachschauen, wie das bewiesen werden kann. Für Räume mit Skalarprodukt reicht Dimensionsgleichheit für Isometrie nicht aus. Überlege Dir, dass Du den Beweis für blosse Vektorräume bei Euklidischen Räumen durch geschickte Wahl der Basen imitieren kannst.

Bezug
        
Bezug
Isometrie zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:04 Fr 24.06.2016
Autor: fred97

Sei [mm] \{u_1,...,u_n\} [/mm] eine Orthonormalbasis von U und  [mm] \{v_1,...,v_n\} [/mm] eine Orthonormalbasis von V.

Ist u [mm] \in [/mm] U, so gilt [mm] u=\summe_{k=1}^{n}u_k. [/mm] Definiere dann

   [mm] f(u):=\summe_{k=1}^{n}v_k. [/mm]

Zeige: f ist eine Isometrie.

FRED

Bezug
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