matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAlgebraIsomorphismus von Ringen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Algebra" - Isomorphismus von Ringen
Isomorphismus von Ringen < Algebra < Algebra and Number Theoriy < University < Maths <
View: [ threaded ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials

Isomorphismus von Ringen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:59 So 12/11/2017
Author: mimo1

Aufgabe
Sei K ein Körper.

Zeige, ist [mm] T=(t_{ij}) \in Gl_n(K) [/mm] eine invertierbare Matrix, so ist
[mm] \varphi: K[x_1,...,x_n]\rightarrow K[x_1,...,x_n]: f\mapsto f(y_1,...,y_n) [/mm] mit

[mm] y_i=\sum_{j=1}^n t_{ij}x_j [/mm]

ein Isomorphismus von Ringen

Hallo zusammen,

ich  sitze vor diese Aufgabe und komme leider nicht weiter. Daher hoffe ich ihr  könnt mir ein Tipp geben.

Meine Idee wäre folgendes zu zeigen, dass

(1) [mm] \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) [/mm]

(2) [mm] \varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b) [/mm]

(3) [mm] \varphi(1)=1 [/mm]

Wir wissen da T invertierbar ist folgt dann [mm] (0,...,0)=(x_1,....,x_n) [/mm] damit ist [mm] x_i\in Ker(\varphi) \Rightarrow \varphi [/mm] injektiv.

bzw. ich muss dann zeigen [mm] \varphi(f+g)=\varphi(f(y_1,...,y_n)+g(y_1,...,y_n))=\varphi(f(y_1,...,y_n))+\varphi(g(y_1,...,y_n)) [/mm]

und [mm] \varphi(f*g)=\varphi(f(y_1,...,y_n)*g(y_1,...,y_n))=\varphi(f(y_1,...,y_n))+\varphi(g(y_1,...,y_n)) [/mm]

[mm] \varphi(f(1,...,1))=\varphi(f(e_1+...+e_n))=\varphi(f(e_1))+...+\varphi(f(e_n)) [/mm]

Ich hoffe ihr könnt mir da einen Tipp geben. Ich bin für jeden Hinweis dankbar.

        
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:34 Mo 13/11/2017
Author: angela.h.b.


> Sei K ein Körper.
>  
> Zeige, ist [mm]T=(t_{ij}) \in Gl_n(K)[/mm] eine invertierbare
> Matrix, so ist
>  [mm]\varphi: K[x_1,...,x_n]\rightarrow K[x_1,...,x_n]: f\mapsto f(y_1,...,y_n)[/mm]
> mit
>  
> [mm]y_i=\sum_{j=1}^n t_{ij}x_j[/mm]
>  
> ein Isomorphismus von Ringen

Hallo,

ist [mm] K[x_1,..,x_n] [/mm] der Ring der Polynome über K in den n Variablen [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n? [/mm]

Am besten notierst Du erstmal, wie die Elemente dieses Ringes aussehen,
ebenso, wie man sie multipliziert und addiert,
denn ohne das zu wissen, kann es ja nicht funktionieren.
Wenn das geklärt ist, dürfte das Zeigen von "Homomorphismus" eigentlich kein großes Problem mehr sein, oder?
Du hast ja schon aufgeschrieben, was man dafür zeigen muß:

> Meine Idee wäre folgendes zu zeigen, dass
>  
> (1) [mm]\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)[/mm]
>  
> (2) [mm]\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)[/mm]
>  
> (3) [mm]\varphi(1)=1[/mm]

Mach das jetzt erstmal.


Dann noch die Injektivität und Surjektivität.

Für die Injektivität zeige: [mm] f\in [/mm] Kern [mm] \varphi [/mm]  ==> f=0, also dasNullpolynom.

Und für die Surjektivität sollte Dir die Invertierbarkeit von T helfen.
Zeigen mußt Du ja,daß Du für jedes [mm] f\in K[x_1,...,x_n] [/mm] ein [mm] \overline{f}\in K[x_1,...,x_n] [/mm] findest mit [mm] \varphi (\overline{f})=f [/mm]

LG Angela

>  
> Wir wissen da T invertierbar ist folgt dann
> [mm](0,...,0)=(x_1,....,x_n)[/mm] damit ist [mm]x_i\in Ker(\varphi) \Rightarrow \varphi[/mm]
> injektiv.


>  
> bzw. ich muss dann zeigen
> [mm]\varphi(f+g)=\varphi(f(y_1,...,y_n)+g(y_1,...,y_n))=\varphi(f(y_1,...,y_n))+\varphi(g(y_1,...,y_n))[/mm]
>  
> und
> [mm]\varphi(f*g)=\varphi(f(y_1,...,y_n)*g(y_1,...,y_n))=\varphi(f(y_1,...,y_n))+\varphi(g(y_1,...,y_n))[/mm]
>  
> [mm]\varphi(f(1,...,1))=\varphi(f(e_1+...+e_n))=\varphi(f(e_1))+...+\varphi(f(e_n))[/mm]
>  
> Ich hoffe ihr könnt mir da einen Tipp geben. Ich bin für
> jeden Hinweis dankbar.


Bezug
                
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 21:23 Mo 13/11/2017
Author: mimo1

Vielen Dank nochmals für deine Hilfe.

Und zwar habe ich jetzt folgend angeschaut:

[mm] \varphi(f)=f(y_1,...,y_n)=f(\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j,...,\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j)=\sum_{j=1}^nf(t_{1j},...,t_{nj})x_j [/mm]

da [mm] y_1=\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j, y_2=\sum_{j=1}^nt_{2j}x_j,...,y_n=\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j [/mm]

Und weiter ist

[mm] \varphi(f+g)=(f+g)(y_1,...,y_n)=f(y_1,...,y_n)+g(y_1,...,y_n)=\varphi(f)+\varphi(g) [/mm]

[mm] \varphi(f*g)=f*g(y_1,...,y_n)=....=\varphi(f)*\varphi(g) \Leftarrow [/mm] wie komme ich darauf?!

und [mm] \varphi(1)=\varphi(f*f^{-1})=\varphi(f)*\varphi(f^{-1})=(\sum f(t_{1j},...,t_{nj})x_j)(\sum f^{-1}(t_{1j},...,t_{nj})x_j) [/mm]

Ist das, was ich betrachtet habe, richtig?

Bezug
                        
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 07:05 Di 14/11/2017
Author: angela.h.b.


> Vielen Dank nochmals für deine Hilfe.
>  
> Und zwar habe ich jetzt folgend angeschaut:
>  
> [mm]\varphi(f)=f(y_1,...,y_n)=f(\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j,...,\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j)=\sum_{j=1}^nf(t_{1j},...,t_{nj})x_j[/mm]

Hallo,

ich zitiere aus meiner Antwort von gestern:

"Ist $ [mm] K[x_1,..,x_n] [/mm] $ der Ring der Polynome über K in den n Variablen $ [mm] x_1, [/mm] $ ..., $ [mm] x_n? [/mm] $

Am besten notierst Du erstmal, wie die Elemente dieses Ringes aussehen,
ebenso, wie man sie multipliziert und addiert,
denn ohne das zu wissen, kann es ja nicht funktionieren."

Und ohne das zu wissen, kann ICH Dir auch nicht weiterhelfen.
Dein Tun oben sieht für mich nicht nach "Polynomring" aus.

>  
> da [mm]y_1=\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j, y_2=\sum_{j=1}^nt_{2j}x_j,...,y_n=\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j[/mm]
>  
> Und weiter ist
>
> [mm]\varphi(f+g)=(f+g)(y_1,...,y_n)=f(y_1,...,y_n)+g(y_1,...,y_n)=\varphi(f)+\varphi(g)[/mm]
>  
> [mm]\varphi(f*g)=f*g(y_1,...,y_n)=....=\varphi(f)*\varphi(g) \Leftarrow[/mm]
> wie komme ich darauf?!
>  
> und
> [mm]\varphi(1)=\varphi(f*f^{-1})=\varphi(f)*\varphi(f^{-1})=(\sum f(t_{1j},...,t_{nj})x_j)(\sum f^{-1}(t_{1j},...,t_{nj})x_j)[/mm]
>  
> Ist das, was ich betrachtet habe, richtig?

Solange Du nicht verrätst, worum es in , der Aufgabe geht, was f und g für "Dinger" sind, bleibt das Treiben für MICH ziemlich geheimnisvoll.
Offenbar sind die Elemente von [mm] K[x_1,...,x_n] [/mm] invertierbar??? Oder was soll man sich unter [mm] f^{-1} [/mm] vorstellen?

Vielleicht aber blicken ja andere besser durch - ansonsten müßtest Du etwas helfen, indem Du wenigstens mal die Definitionen der Menge und der Verknüpfungen mitteilst.

LG Angela




Bezug
                                
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 12:03 Di 14/11/2017
Author: mimo1

Leider kann ich nicht mehr sagen was in der Aufgabenstellung steht. Denn da lag meine Meinung nach auch mein Problem da nur [mm] f\mapsto f(y_1,...,y_n) [/mm] definiert war.

Bezug
                                        
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 12:28 Di 14/11/2017
Author: angela.h.b.


> Leider kann ich nicht mehr sagen was in der
> Aufgabenstellung steht.

???
Die Aufgabenstellung hast Du doch gepostet...

Ich frage nicht nach der Aufgabenstellung - die kann ich ja in Deinem Eingangspost ganz klar nachlesen.
Ich frage danach, was [mm] K[x_1,...,x_n] [/mm] bedeutet!
Ich frage sogar noch genauer: ist es der Polynomring?
Wenn ja: wie sehen seine Elemente aus und wie sind die Verknüpfungen definiert?
Wenn nein: was ist das dann für ein Ring?

> Denn da lag meine Meinung nach auch
> mein Problem da nur [mm]f\mapsto f(y_1,...,y_n)[/mm] definiert war.

Irgendwie glaube ich, daß es noch ganz andere Probleme gibt...

Mich persönlich interessiert einfach, was es mit [mm] K[x_1,...,x_n] [/mm] auf sich hat.
Das sollte in der Vorlesung definiert worden sein,
oder halt im Buch, falls die Aufgabe aus einem Buch ist.

Und wenn Du das weder weißt noch herausfinden kannst, ist die Beschäftigung mit der Aufgabe vertane Zeit, denn die Lösung kann doch nicht gelingen, wenn die Zutaten der Aufgabe völlig im Dunkeln liegen.

...

Ich denke ja, daß es Polynome sind.

Nehmen wir mal [mm] \IR[x_1,x_2] [/mm] und die Matrix [mm] T=\pmat{1&1\\1&-2} [/mm] und

als Element von [mm] \IR[x_1,x_2] [/mm] das Polynom [mm] f=x^2+xy+17. [/mm]

Es ist dann
[mm] \varphi(f)=f(x_1+x_2, x_1-2x_2) [/mm]
= [mm] (x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)(x_1-2x_2)+17 [/mm]
[mm] =2x_1^2+5x_1x_2+3x_2^2+17 [/mm]
meinem Verständnis nach.

Bloß leider paßt das überhaupt nicht zu Deinem Lösungsversuch.

Einer von uns beiden liegt ziemlich verkehrt.
Oder beide.

LG Angela


Bezug
                                                
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 12:34 Di 14/11/2017
Author: mimo1

Sorry, für das Missverständnis auf meiner Seite.
Genau, mit [mm] K[x_1,...,x_n] [/mm] ist der Polynomring gemeint.

Bezug
                        
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:40 Do 16/11/2017
Author: angela.h.b.


> Vielen Dank nochmals für deine Hilfe.
>  
> Und zwar habe ich jetzt folgend angeschaut:

Hallo,

wir konnten nun ja klären, daß es um den Polynomring geht.

>  
> [mm]\varphi(f)=f(y_1,...,y_n)=f(\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j,...,\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j)\red{=}\sum_{j=1}^nf(t_{1j},...,t_{nj})x_j[/mm]

Das rotmarkierte Gleichheitszeichen ist totaler Quatsch.

>  
> da [mm]y_1=\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j, y_2=\sum_{j=1}^nt_{2j}x_j,...,y_n=\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j[/mm]
>  
> Und weiter ist
>
> [mm]\varphi(f+g)=(f+g)(y_1,...,y_n)=f(y_1,...,y_n)+g(y_1,...,y_n)=\varphi(f)+\varphi(g)[/mm]

Eine Begründung müßte man noch liefern.
Ich weiß ja nicht, was ihr so in der Vorlesung macht, denke aber "Einsetzungshomomorphismus" würde als Begründung gut passen.

>  
> [mm]\varphi(f*g)=\red{}f*g\red{}(y_1,...,y_n)=....=\varphi(f)*\varphi(g) \Leftarrow[/mm]
> wie komme ich darauf?!

Im Prinzip wie oben mit derselben Begründung.

>  
> und
> [mm]\varphi(1)=\varphi(f*f^{-1})=\varphi(f)*\varphi(f^{-1})=(\sum f(t_{1j},...,t_{nj})x_j)(\sum f^{-1}(t_{1j},...,t_{nj})x_j)[/mm]

Du kannst nicht einfach [mm] f^{-1} [/mm] einführen one zu sagen, was das ist!
Es ist echt Blödsinn - oder haben Polynome ein Inverses bzgl der Multiplikation? Quatsch.

Du willst zeigen, daß das Einspolynom e=1 auf  das Einspolynom abgebildet wird. Für jedes [mm] x_1 [/mm] wird das neue [mm] y_i [/mm] eingesetzt.
Und? Gibt es hier ein [mm] x_i? [/mm] Nein. Also [mm] \varphi(1)=1. [/mm]

Nun mußt Du Dir Gedanken zur Injektivität und Surjektivität machen - an dieser Stelle erst fängt die wirkliche Arbeit an, und hier wird dann auch zum Einsatz kommen, wie die [mm] y_i [/mm] entstanden sind.

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:12 Fr 17/11/2017
Author: SEcki


> Sei K ein Körper.

>

> Zeige, ist [mm]T=(t_{ij}) \in Gl_n(K)[/mm] eine invertierbare
> Matrix, so ist
> [mm]\varphi: K[x_1,...,x_n]\rightarrow K[x_1,...,x_n]: f\mapsto f(y_1,...,y_n)[/mm]
> mit

>

> [mm]y_i=\sum_{j=1}^n t_{ij}x_j[/mm]

>

> ein Isomorphismus von Ringen

Wenn du gezeigt hast, dass [mm]\varphi[/mm] ein Endomorphismus ist, gibt es eigentlich auch einen natürlichen Kandidaten für die inverse Abbildung (nämlich die Abbildung, aber nicht für T, sondern für ...).

Ausgefuchste zeigen am betsen gleich, dass [mm]GL_n(K)\to End(K[x_1,\dots,x_n]), T \mapsto \varphi_T[/mm] ein Gruppenhom. ist - und sich damit auch auf [mm]Aut(K[x_1,\dots,x_n])[/mm] einschränken lässt. :-)

SEcki

Bezug
View: [ threaded ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials


Alle Foren
Status vor 6h 26m 10. donquijote
ULinAMat/Gruppe der inv. Matrizen
Status vor 2d 11. Al-Chwarizmi
STrigoFktn/Cosinus und Arc Cosinus
Status vor 2d 7. Diophant
UAnaR1FunkStetig/Stetigkeit im Nullpunkt
Status vor 4d 1. Prospekthuellen
UStoc/Galton-Watson mit max. Höhe
Status vor 5d 7. maggieNess
Taschenrechner/Tinspire Cx Cas Einstellungen
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]