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Isomorphismus von Ringen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 So 12.11.2017
Autor: mimo1

Aufgabe
Sei K ein Körper.

Zeige, ist [mm] T=(t_{ij}) \in Gl_n(K) [/mm] eine invertierbare Matrix, so ist
[mm] \varphi: K[x_1,...,x_n]\rightarrow K[x_1,...,x_n]: f\mapsto f(y_1,...,y_n) [/mm] mit

[mm] y_i=\sum_{j=1}^n t_{ij}x_j [/mm]

ein Isomorphismus von Ringen

Hallo zusammen,

ich  sitze vor diese Aufgabe und komme leider nicht weiter. Daher hoffe ich ihr  könnt mir ein Tipp geben.

Meine Idee wäre folgendes zu zeigen, dass

(1) [mm] \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) [/mm]

(2) [mm] \varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b) [/mm]

(3) [mm] \varphi(1)=1 [/mm]

Wir wissen da T invertierbar ist folgt dann [mm] (0,...,0)=(x_1,....,x_n) [/mm] damit ist [mm] x_i\in Ker(\varphi) \Rightarrow \varphi [/mm] injektiv.

bzw. ich muss dann zeigen [mm] \varphi(f+g)=\varphi(f(y_1,...,y_n)+g(y_1,...,y_n))=\varphi(f(y_1,...,y_n))+\varphi(g(y_1,...,y_n)) [/mm]

und [mm] \varphi(f*g)=\varphi(f(y_1,...,y_n)*g(y_1,...,y_n))=\varphi(f(y_1,...,y_n))+\varphi(g(y_1,...,y_n)) [/mm]

[mm] \varphi(f(1,...,1))=\varphi(f(e_1+...+e_n))=\varphi(f(e_1))+...+\varphi(f(e_n)) [/mm]

Ich hoffe ihr könnt mir da einen Tipp geben. Ich bin für jeden Hinweis dankbar.

        
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 Mo 13.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Sei K ein Körper.
>  
> Zeige, ist [mm]T=(t_{ij}) \in Gl_n(K)[/mm] eine invertierbare
> Matrix, so ist
>  [mm]\varphi: K[x_1,...,x_n]\rightarrow K[x_1,...,x_n]: f\mapsto f(y_1,...,y_n)[/mm]
> mit
>  
> [mm]y_i=\sum_{j=1}^n t_{ij}x_j[/mm]
>  
> ein Isomorphismus von Ringen

Hallo,

ist [mm] K[x_1,..,x_n] [/mm] der Ring der Polynome über K in den n Variablen [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n? [/mm]

Am besten notierst Du erstmal, wie die Elemente dieses Ringes aussehen,
ebenso, wie man sie multipliziert und addiert,
denn ohne das zu wissen, kann es ja nicht funktionieren.
Wenn das geklärt ist, dürfte das Zeigen von "Homomorphismus" eigentlich kein großes Problem mehr sein, oder?
Du hast ja schon aufgeschrieben, was man dafür zeigen muß:

> Meine Idee wäre folgendes zu zeigen, dass
>  
> (1) [mm]\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)[/mm]
>  
> (2) [mm]\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)[/mm]
>  
> (3) [mm]\varphi(1)=1[/mm]

Mach das jetzt erstmal.


Dann noch die Injektivität und Surjektivität.

Für die Injektivität zeige: [mm] f\in [/mm] Kern [mm] \varphi [/mm]  ==> f=0, also dasNullpolynom.

Und für die Surjektivität sollte Dir die Invertierbarkeit von T helfen.
Zeigen mußt Du ja,daß Du für jedes [mm] f\in K[x_1,...,x_n] [/mm] ein [mm] \overline{f}\in K[x_1,...,x_n] [/mm] findest mit [mm] \varphi (\overline{f})=f [/mm]

LG Angela

>  
> Wir wissen da T invertierbar ist folgt dann
> [mm](0,...,0)=(x_1,....,x_n)[/mm] damit ist [mm]x_i\in Ker(\varphi) \Rightarrow \varphi[/mm]
> injektiv.


>  
> bzw. ich muss dann zeigen
> [mm]\varphi(f+g)=\varphi(f(y_1,...,y_n)+g(y_1,...,y_n))=\varphi(f(y_1,...,y_n))+\varphi(g(y_1,...,y_n))[/mm]
>  
> und
> [mm]\varphi(f*g)=\varphi(f(y_1,...,y_n)*g(y_1,...,y_n))=\varphi(f(y_1,...,y_n))+\varphi(g(y_1,...,y_n))[/mm]
>  
> [mm]\varphi(f(1,...,1))=\varphi(f(e_1+...+e_n))=\varphi(f(e_1))+...+\varphi(f(e_n))[/mm]
>  
> Ich hoffe ihr könnt mir da einen Tipp geben. Ich bin für
> jeden Hinweis dankbar.


Bezug
                
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Mo 13.11.2017
Autor: mimo1

Vielen Dank nochmals für deine Hilfe.

Und zwar habe ich jetzt folgend angeschaut:

[mm] \varphi(f)=f(y_1,...,y_n)=f(\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j,...,\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j)=\sum_{j=1}^nf(t_{1j},...,t_{nj})x_j [/mm]

da [mm] y_1=\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j, y_2=\sum_{j=1}^nt_{2j}x_j,...,y_n=\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j [/mm]

Und weiter ist

[mm] \varphi(f+g)=(f+g)(y_1,...,y_n)=f(y_1,...,y_n)+g(y_1,...,y_n)=\varphi(f)+\varphi(g) [/mm]

[mm] \varphi(f*g)=f*g(y_1,...,y_n)=....=\varphi(f)*\varphi(g) \Leftarrow [/mm] wie komme ich darauf?!

und [mm] \varphi(1)=\varphi(f*f^{-1})=\varphi(f)*\varphi(f^{-1})=(\sum f(t_{1j},...,t_{nj})x_j)(\sum f^{-1}(t_{1j},...,t_{nj})x_j) [/mm]

Ist das, was ich betrachtet habe, richtig?

Bezug
                        
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:05 Di 14.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Vielen Dank nochmals für deine Hilfe.
>  
> Und zwar habe ich jetzt folgend angeschaut:
>  
> [mm]\varphi(f)=f(y_1,...,y_n)=f(\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j,...,\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j)=\sum_{j=1}^nf(t_{1j},...,t_{nj})x_j[/mm]

Hallo,

ich zitiere aus meiner Antwort von gestern:

"Ist $ [mm] K[x_1,..,x_n] [/mm] $ der Ring der Polynome über K in den n Variablen $ [mm] x_1, [/mm] $ ..., $ [mm] x_n? [/mm] $

Am besten notierst Du erstmal, wie die Elemente dieses Ringes aussehen,
ebenso, wie man sie multipliziert und addiert,
denn ohne das zu wissen, kann es ja nicht funktionieren."

Und ohne das zu wissen, kann ICH Dir auch nicht weiterhelfen.
Dein Tun oben sieht für mich nicht nach "Polynomring" aus.

>  
> da [mm]y_1=\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j, y_2=\sum_{j=1}^nt_{2j}x_j,...,y_n=\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j[/mm]
>  
> Und weiter ist
>
> [mm]\varphi(f+g)=(f+g)(y_1,...,y_n)=f(y_1,...,y_n)+g(y_1,...,y_n)=\varphi(f)+\varphi(g)[/mm]
>  
> [mm]\varphi(f*g)=f*g(y_1,...,y_n)=....=\varphi(f)*\varphi(g) \Leftarrow[/mm]
> wie komme ich darauf?!
>  
> und
> [mm]\varphi(1)=\varphi(f*f^{-1})=\varphi(f)*\varphi(f^{-1})=(\sum f(t_{1j},...,t_{nj})x_j)(\sum f^{-1}(t_{1j},...,t_{nj})x_j)[/mm]
>  
> Ist das, was ich betrachtet habe, richtig?

Solange Du nicht verrätst, worum es in , der Aufgabe geht, was f und g für "Dinger" sind, bleibt das Treiben für MICH ziemlich geheimnisvoll.
Offenbar sind die Elemente von [mm] K[x_1,...,x_n] [/mm] invertierbar??? Oder was soll man sich unter [mm] f^{-1} [/mm] vorstellen?

Vielleicht aber blicken ja andere besser durch - ansonsten müßtest Du etwas helfen, indem Du wenigstens mal die Definitionen der Menge und der Verknüpfungen mitteilst.

LG Angela




Bezug
                                
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:03 Di 14.11.2017
Autor: mimo1

Leider kann ich nicht mehr sagen was in der Aufgabenstellung steht. Denn da lag meine Meinung nach auch mein Problem da nur [mm] f\mapsto f(y_1,...,y_n) [/mm] definiert war.

Bezug
                                        
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 Di 14.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Leider kann ich nicht mehr sagen was in der
> Aufgabenstellung steht.

???
Die Aufgabenstellung hast Du doch gepostet...

Ich frage nicht nach der Aufgabenstellung - die kann ich ja in Deinem Eingangspost ganz klar nachlesen.
Ich frage danach, was [mm] K[x_1,...,x_n] [/mm] bedeutet!
Ich frage sogar noch genauer: ist es der Polynomring?
Wenn ja: wie sehen seine Elemente aus und wie sind die Verknüpfungen definiert?
Wenn nein: was ist das dann für ein Ring?

> Denn da lag meine Meinung nach auch
> mein Problem da nur [mm]f\mapsto f(y_1,...,y_n)[/mm] definiert war.

Irgendwie glaube ich, daß es noch ganz andere Probleme gibt...

Mich persönlich interessiert einfach, was es mit [mm] K[x_1,...,x_n] [/mm] auf sich hat.
Das sollte in der Vorlesung definiert worden sein,
oder halt im Buch, falls die Aufgabe aus einem Buch ist.

Und wenn Du das weder weißt noch herausfinden kannst, ist die Beschäftigung mit der Aufgabe vertane Zeit, denn die Lösung kann doch nicht gelingen, wenn die Zutaten der Aufgabe völlig im Dunkeln liegen.

...

Ich denke ja, daß es Polynome sind.

Nehmen wir mal [mm] \IR[x_1,x_2] [/mm] und die Matrix [mm] T=\pmat{1&1\\1&-2} [/mm] und

als Element von [mm] \IR[x_1,x_2] [/mm] das Polynom [mm] f=x^2+xy+17. [/mm]

Es ist dann
[mm] \varphi(f)=f(x_1+x_2, x_1-2x_2) [/mm]
= [mm] (x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)(x_1-2x_2)+17 [/mm]
[mm] =2x_1^2+5x_1x_2+3x_2^2+17 [/mm]
meinem Verständnis nach.

Bloß leider paßt das überhaupt nicht zu Deinem Lösungsversuch.

Einer von uns beiden liegt ziemlich verkehrt.
Oder beide.

LG Angela


Bezug
                                                
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:34 Di 14.11.2017
Autor: mimo1

Sorry, für das Missverständnis auf meiner Seite.
Genau, mit [mm] K[x_1,...,x_n] [/mm] ist der Polynomring gemeint.

Bezug
                        
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:40 Do 16.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Vielen Dank nochmals für deine Hilfe.
>  
> Und zwar habe ich jetzt folgend angeschaut:

Hallo,

wir konnten nun ja klären, daß es um den Polynomring geht.

>  
> [mm]\varphi(f)=f(y_1,...,y_n)=f(\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j,...,\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j)\red{=}\sum_{j=1}^nf(t_{1j},...,t_{nj})x_j[/mm]

Das rotmarkierte Gleichheitszeichen ist totaler Quatsch.

>  
> da [mm]y_1=\sum_{j=1}^n t_{1j}x_j, y_2=\sum_{j=1}^nt_{2j}x_j,...,y_n=\sum_{j=1}^nt_{nj}x_j[/mm]
>  
> Und weiter ist
>
> [mm]\varphi(f+g)=(f+g)(y_1,...,y_n)=f(y_1,...,y_n)+g(y_1,...,y_n)=\varphi(f)+\varphi(g)[/mm]

Eine Begründung müßte man noch liefern.
Ich weiß ja nicht, was ihr so in der Vorlesung macht, denke aber "Einsetzungshomomorphismus" würde als Begründung gut passen.

>  
> [mm]\varphi(f*g)=\red{}f*g\red{}(y_1,...,y_n)=....=\varphi(f)*\varphi(g) \Leftarrow[/mm]
> wie komme ich darauf?!

Im Prinzip wie oben mit derselben Begründung.

>  
> und
> [mm]\varphi(1)=\varphi(f*f^{-1})=\varphi(f)*\varphi(f^{-1})=(\sum f(t_{1j},...,t_{nj})x_j)(\sum f^{-1}(t_{1j},...,t_{nj})x_j)[/mm]

Du kannst nicht einfach [mm] f^{-1} [/mm] einführen one zu sagen, was das ist!
Es ist echt Blödsinn - oder haben Polynome ein Inverses bzgl der Multiplikation? Quatsch.

Du willst zeigen, daß das Einspolynom e=1 auf  das Einspolynom abgebildet wird. Für jedes [mm] x_1 [/mm] wird das neue [mm] y_i [/mm] eingesetzt.
Und? Gibt es hier ein [mm] x_i? [/mm] Nein. Also [mm] \varphi(1)=1. [/mm]

Nun mußt Du Dir Gedanken zur Injektivität und Surjektivität machen - an dieser Stelle erst fängt die wirkliche Arbeit an, und hier wird dann auch zum Einsatz kommen, wie die [mm] y_i [/mm] entstanden sind.

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Isomorphismus von Ringen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Fr 17.11.2017
Autor: SEcki


> Sei K ein Körper.

>

> Zeige, ist [mm]T=(t_{ij}) \in Gl_n(K)[/mm] eine invertierbare
> Matrix, so ist
> [mm]\varphi: K[x_1,...,x_n]\rightarrow K[x_1,...,x_n]: f\mapsto f(y_1,...,y_n)[/mm]
> mit

>

> [mm]y_i=\sum_{j=1}^n t_{ij}x_j[/mm]

>

> ein Isomorphismus von Ringen

Wenn du gezeigt hast, dass [mm]\varphi[/mm] ein Endomorphismus ist, gibt es eigentlich auch einen natürlichen Kandidaten für die inverse Abbildung (nämlich die Abbildung, aber nicht für T, sondern für ...).

Ausgefuchste zeigen am betsen gleich, dass [mm]GL_n(K)\to End(K[x_1,\dots,x_n]), T \mapsto \varphi_T[/mm] ein Gruppenhom. ist - und sich damit auch auf [mm]Aut(K[x_1,\dots,x_n])[/mm] einschränken lässt. :-)

SEcki

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