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Kommutator, Virialsatz: Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:25 Di 24.11.2015
Autor: Boson

Aufgabe
Hamilton-Operator in Ortsdarstellung: [mm] \hat{H}=\bruch{\hat{p}^2}{2m}+V(x) [/mm]

a) zeige: [mm] \bruch{i}{\hbar}[\hat{H},x\hat{p}]=\bruch{\hat{p}^2}{m}-x\bruch{dV}{dx} [/mm]

b) Welchen Erwartungswert [mm] (\varphi(x),[\hat{H},x\hat{p}]\varphi(x)) [/mm] erhält man für [mm] \varphi(x) [/mm] Eigenfunktion von [mm] \hat{H} [/mm]

c) Mit b) kann man einen Zusammenhang zwischen dem Erwartungswert der kinetischen Energie und dem Erwartungswert von [mm] x\bruch{dV}{dx} [/mm] zeigen (Virialsatz)

d) zeige für das Potential [mm] V(x)=\alpha*x^n [/mm] gilt: [mm] \bruch{\overline{p^2}}{2m}=\bruch{n}{2}\overline{V(x)} [/mm]
[mm] (\overline{A} [/mm] ist Erwartungswert im Zustand [mm] \varphi(x)) [/mm]

a)

[mm] [\hat{H},x\hat{p}]=[\bruch{\hat{p}^2}{2m}+V(x),x\hat{p}]=\bruch{1}{2m}[\hat{p}^2,x\hat{p}]+[V(x),x\hat{p}]=\bruch{1}{2m}([\hat{p}^2,x]\hat{p}+x[\hat{p}^2,\hat{p}])+[V(x),x]\hat{p}+x[V(x),\hat{p}] [/mm]
---
[mm] [\hat{p}^2,x]=\hat{p}\underbrace{[\hat{p},x]}_{=-i\hbar}+\underbrace{[\hat{p},x]}_{=-i\hbar}\hat{p}=-2\hat{p}i\hbar [/mm]

[mm] [\hat{p}^2,\hat{p}]=\hat{p}\underbrace{[\hat{p},\hat{p}]}_{=0}+\underbrace{[\hat{p},\hat{p}]}_{=0}\hat{p}=0 [/mm]

[mm] [V(x),x]=V(x)x-xV(x)=0 [/mm] denn [mm] V(x)x=xV(x) [/mm]

[mm] [V(x),\hat{p}]\psi(x)=-i\hbar V(x)\bruch{\partial}{\partial x}\psi(x)+i\hbar\bruch{\partial}{\partial x}V(x)\psi(x)=-i\hbar V(x)\bruch{\partial}{\partial x}\psi(x)+i\hbar(\bruch{\partial}{\partial x}V(x))\psi(x)+i\hbarV(x)(\bruch{\partial}{\partial x}\psi(x))=i\hbar(\bruch{\partial}{\partial x}V(x))\psi(x) [/mm]

[mm] \Rightarrow [V(x),\hat{p}]=i\hbar(\bruch{\partial}{\partial x}V(x)) [/mm]
---
[mm] \Rightarrow [\hat{H},x\hat{p}]=-\bruch{i\hbar\hat{p}}{m}+i\hbar*x(\bruch{\partial}{\partial x}V(x)) [/mm] mit [mm] (\bruch{\partial}{\partial x}V(x))=\bruch{dV(x)}{dx} [/mm] folgt

[mm] \Rightarrow \bruch{i}{\hbar}[\hat{H},x\hat{p}]=\bruch{\hat{p}^2}{m}-x\bruch{dV(x)}{dx} [/mm]



b)

[mm] (\varphi(x),[\hat{H},x\hat{p}]\varphi(x))=\integral_{}^{}{\varphi(x)^\*(i\hbar}x\bruch{dV(x)}{dx}\varphi(x)-\bruch{i\hbar\hat{p}^2}{m}\varphi(x))dx=\integral_{}^{}{\varphi(x)^\*i\hbar}x\bruch{dV(x)}{dx}\varphi(x)dx-\integral_{}^{}{\varphi(x)^\*\bruch{i\hbar\hat{p}^2}{m}\varphi(x))dx}=i\hbar-i\hbar<\bruch{i\hbar\hat{p}^2}{m}> [/mm]

Kann man hier noch mehr ausrechnen? In Hinblick auf die folgende Aufgabe scheint das so zu reichen.



c)

Ehrenfest-Theorem: , Herleitung im Schrödinger-Bild: betrachte System im Quantenzustand [mm] \psi, [/mm] Zeitableitung des Erwartungswertes des Operators O lautet

[mm] \bruch{d}{dt}=\bruch{d}{dt}\integral_{}^{}{\psi^\*O\psi dV}=\integral_{}^{}{(\bruch{\partial\psi^\*}{\partial t})O\psi+\psi^\*(\bruch{\partial O}{\partial t})\psi+\psi^\*O(\bruch{\partial\psi}{\partial t})dV}=\integral_{}^{}{(\bruch{\partial\psi^\*}{\partial t})O\psi+\psi^\*O(\bruch{\partial\psi}{\partial t})dV}+<\bruch{\partial O}{\partial t}> [/mm]

mit der Schrödingergleichung [mm] \bruch{\partial\psi}{\partial t}=-\bruch{i}{\hbar}\hat{H}\psi, \bruch{\partial\psi^\*}{\partial t}=\bruch{i}{\hbar}\psi^\*\hat{H}, \hat{H} [/mm] hermitesch folgt:

[mm] \bruch{d}{dt}=\bruch{i}{\hbar}\integral_{}^{}{\psi^\*\hat{H}O\psi-\psi^\*O\hat{H}\psi dV}+<\bruch{\partial O}{\partial t}>=\underline{\bruch{i}{\hbar}<[\hat{H},O]>+<\bruch{\partial O}{\partial t}>} [/mm]

Setzt man [mm] O=x\hat{p} [/mm] in das Ehrenfest-Theorem ein, dann folgt mit b):

[mm] x\hat{p} [/mm] ist nicht explizit Zeitabhängig [mm] \Rightarrow\bruch{\partial}{\partial t}x\hat{p}=0 [/mm]

[mm] 0=\bruch{i}{\hbar}<[\hat{H},x\hat{p}]>=<\bruch{\hat{p}^2}{m}>- [/mm] mit der kinetischen Energie [mm] T=\bruch{\hat{p}^2}{2m} [/mm] folgt der Virialsatz:

[mm] 2= [/mm]



d)

[mm] V(x)=\alpha x^n [/mm]

[mm] \bruch{dV(x)}{dx}=\alpha*nx^{n-1} [/mm]

[mm] x\bruch{dV(x)}{dx}=n*\alpha x^n=n*V(x) [/mm]

[mm] =\integral_{}^{}{\varphi^\*(x)n*V(x)\varphi(x) dx}=n\integral_{}^{}{\varphi^\*(x)V(x)\varphi(x) dx}=n=n\overline{V(x)} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2m}<\hat{p}^2>=\bruch{1}{2m}\overline{p^2} [/mm]

Einsetzen in Virialsatz:

[mm] 2*\bruch{1}{2m}\overline{p^2}=n\overline{V(x)} [/mm]

[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2m}\overline{p^2}=\bruch{n}{2}\overline{V(x)} [/mm]



Vielen Dank für eure Hilfe!

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Kommutator, Virialsatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 27.11.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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