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Forum "komplexe Zahlen" - Komplexe Zahlen Wurzeln
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Komplexe Zahlen Wurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Sa 15.02.2014
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechnen Sie alle kartesischen Lösungen von

z = [mm] \wurzel[3]{3 + \bruch{1}{3-4j}} [/mm]

Moin Moin,

gibt es einen einfachen Weg die Lösungen dieses Ausdrucks nur mithilfe der kartesischen Darstellung komplexer Zahlen zu berechnen?

Meine Umformungen (soweit ich gekommen bin...):

z = [mm] \wurzel[3]{3 + \bruch{1}{3-4j}} [/mm]

z = [mm] \wurzel[3]{\bruch{10 -12j}{3-4j}} [/mm]

z = [mm] \wurzel[3]{\bruch{(10 +4j)*(3+4j)}{(3-4j)*(3+4j)}} [/mm]

z = [mm] \wurzel[3]{\bruch{78+4j}{25}} [/mm]


Und nun?


Danke für eure Hilfe!!




        
Bezug
Komplexe Zahlen Wurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Sa 15.02.2014
Autor: Valerie20


> Berechnen Sie alle kartesischen Lösungen von

>

> z = [mm]\wurzel[3]{3 + \bruch{1}{3-4j}}[/mm]
> Moin Moin,

>

> gibt es einen einfachen Weg die Lösungen dieses Ausdrucks
> nur mithilfe der kartesischen Darstellung komplexer Zahlen
> zu berechnen?

>

> Meine Umformungen (soweit ich gekommen bin...):

>

> z = [mm]\wurzel[3]{3 + \bruch{1}{3-4j}}[/mm]

>

> z = [mm]\wurzel[3]{\bruch{10 -12j}{3-4j}}[/mm]

>

> z = [mm]\wurzel[3]{\bruch{(10 +4j)*(3+4j)}{(3-4j)*(3+4j)}}[/mm]         [notok][notok]

>


Im Zähler sollte es heißen: $(10-12j)(3+4j)$

Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahlen Wurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Sa 15.02.2014
Autor: hase-hh

Moin Moin,

gibt es einen einfachen Weg die Lösungen dieses Ausdrucks nur mithilfe der kartesischen Darstellung komplexer Zahlen zu berechnen?

> Im Zähler sollte es heißen: [mm](10-12j)(3+4j)[/mm]

stimmt!

z = [mm] \wurzel[3]{\bruch{(10-12j)*(3+4j)}{(3+4j)*(3-4j)}} [/mm]

z = [mm] \wurzel[3]{\bruch{78+4j}{25}} [/mm]



Die eigentliche Frage ist nach wie vor offen!






Bezug
                        
Bezug
Komplexe Zahlen Wurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Sa 15.02.2014
Autor: Diophant

Hallo,

die Antwort auf deine Frage ist ein klares Nein. Denn selbst für den Fall, dass die Lösungen 'einfache' Real- und Imaginärteile besitzen, so müsstest du immerhin den Radikanden kubisch ergänzen. Das aber ist dann IMO schon Wettbewerbsniveau, zumindest zum Warmrechnen...

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Komplexe Zahlen Wurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 Sa 15.02.2014
Autor: hase-hh

Was ist IMO  ????? Gibt es das auch auf Deutsch?  

Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Zahlen Wurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Sa 15.02.2014
Autor: reverend

Hallo hase,

> Was ist IMO  ????? Gibt es das auch auf Deutsch?  

Klar: mMn.

Grüße
reverend

Bezug
                                                
Bezug
Komplexe Zahlen Wurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Sa 15.02.2014
Autor: hase-hh

Aha, na dann!

Und was bedeutet das nu ausgeschrieben, in voller sprachlicher Länge?

Bezug
                                                        
Bezug
Komplexe Zahlen Wurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Sa 15.02.2014
Autor: reverend

Hallo nochmal,

in my opinion, meiner Meinung nach.

Häufiger ist "imho" - in my honest opinion.

lg
rev

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Zahlen Wurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Sa 15.02.2014
Autor: abakus


> Moin Moin,

>

> gibt es einen einfachen Weg die Lösungen dieses Ausdrucks
> nur mithilfe der kartesischen Darstellung komplexer Zahlen
> zu berechnen?

>

> > Im Zähler sollte es heißen: [mm](10-12j)(3+4j)[/mm]

>

> stimmt!

>

> z = [mm]\wurzel[3]{\bruch{(10-12j)*(3+4j)}{(3+4j)*(3-4j)}}[/mm]

>

> z = [mm]\wurzel[3]{\bruch{78+4j}{25}}[/mm]

>
>
>

> Die eigentliche Frage ist nach wie vor offen!

Hallo,
Lösungen sind alle Zahlen z der Form z=a+b*i, für die [mm](a+b*i)^3=\bruch{78+4j}{25}[/mm] gilt.
Das führt über den Vergleich von Real- und Imaginärteil zu
[mm]a^3-3ab^2= \bruch{78}{25}[/mm] und
[mm]3a^2b-b^3=  \bruch{4}{25}[/mm] .
Dieses Gleichungssystem ist nicht wirklich schön.
Gruß Abakus

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Komplexe Zahlen Wurzeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:57 Sa 15.02.2014
Autor: hase-hh

Ok... also dann bleibt nur die Lösung über die Polarform. Schade!

Bezug
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