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Konvergenz: Grenzwert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Di 16.01.2018
Autor: sancho1980

Hallo

ich habe eine Frage. Und zwar steht in meinem Lehrbuch Folgendes:

"Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt. Konvergiert eine Folge, so konvergiert auch jede Teilfolge gegen den Grenzwert."

Als Erklärung steht dazu:

"Wenn die Folge [mm] a_n [/mm] zwei Grenzwerte hätte, also einem a als auch einem b beliebig nahe käme, dann müssten wegen der Dreiecksungleichung auch a und b beliebig nahe beieinander liegen, |a - b| = |(a - [mm] a_n) [/mm] + [mm] (a_n [/mm] - b)| [mm] \le |a_n [/mm] - a| +  [mm] |a_n [/mm] - b|, also gleich sein."

Ich kann nachvollziehen, wie diese Ungleichung zustande kommt. Was mir nicht ganz einleichtet, ist, wieso aus

|a - b| [mm] \le |a_n [/mm] - a| +  [mm] |a_n [/mm] - b|

folgt, dass a und b gleich sind. Kann mir einer auf die Sprünge helfen?

Danke und Gruß,
Martin

        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 Mi 17.01.2018
Autor: X3nion

Hallo sancho1980,

nach Voraussetzung ist [mm] (a_{n}) [/mm] konvergent gegen a und [mm] (a_{n}) [/mm] konvergent gegen b. Somit bilden die Ausdrücke [mm] |a_{n} [/mm] - a| und [mm] |a_{n} [/mm] - b| Nullfolgen, folglich konvergiert auch die Summe [mm] |a_{n} [/mm] - a| + [mm] |a_{n} [/mm] - b| gegen 0

Aus der Ungleichung |a-b| [mm] \le |a_{n} [/mm] - a| + [mm] |a_{n} [/mm] - b|

folgt, dass |a-b| eine Nullfolge ist. Da a und b konstant, geht das nur dann gut, wenn a = b.


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
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