Konvergenz, explizite angabe N < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Sa 19.05.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Für die Fole [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{3n-1}{n+1} [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] finde man einen kandidaten für ihren Grenzwert und beweise die Konvergen durch explizite ANgabe eines [mm] N(\epsilon) [/mm] aus der Definition der Konvergenz |
[mm] lim_{n->\infty} \frac{3n-1}{n+1} [/mm] = 3
[mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n >= [mm] \IN [/mm] :
[mm] |a_n [/mm] -a | < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] |a_n [/mm] - 3| = [mm] |\frac{3n-1}{n+1} [/mm] - 3| =| [mm] \frac{3n-1-3n-3}{n+1}| [/mm] = [mm] |\frac{-4}{n+1} [/mm] | <= [mm] |\frac{-4}{N+1}| [/mm] = [mm] \frac{4}{N+1} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
N> [mm] \frac{4}{\epsilon} [/mm] -1
Frage:
1) Wie gebe ich N explizit an?
2) Muss ich in der abschätzung immer einmal das n durch das N abschätzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Sa 19.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo!
> Für die Fole [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{3n-1}{n+1}[/mm] , n [mm]\in \IN[/mm] finde man
> einen kandidaten für ihren Grenzwert und beweise die
> Konvergen durch explizite ANgabe eines [mm]N(\epsilon)[/mm] aus der
> Definition der Konvergenz
> [mm]lim_{n->\infty} \frac{3n-1}{n+1}[/mm] = 3
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall[/mm] n >= [mm]\IN[/mm] :
> [mm]|a_n[/mm] -a | < [mm]\epsilon[/mm]
Vorsicht, der Teufel steckt im Detail: [mm]n\ge{N}[/mm], nicht [mm]\IN[/mm]!
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a \ \ \gdw \ \ \forall \varepsilon>0 \ \ \exists \ \ N\in \IN: \ \ \forall \ \ n\ge{N} : \ \ |a_n -a |<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]|a_n[/mm] - 3| = [mm]|\frac{3n-1}{n+1}[/mm] - 3| =|[mm]\frac{3n-1-3n-3}{n+1}|[/mm] = [mm]|\frac{-4}{n+1}[/mm] | <= [mm]|\frac{-4}{N+1}|[/mm] = [mm]\frac{4}{N+1}[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
N> [mm]\frac{4}{\epsilon}[/mm] -1
Korrekt!
Denn zu vorgegebenen [mm]\varepsilon[/mm] wählt man eine natürliche Zahl [mm]N(\varepsilon)[/mm] mit [mm]N(\varepsilon)>\bruch{4-\varepsilon}{\varepsilon}[/mm]. So gilt für alle [mm]n>N(\varepsilon)[/mm]:
[mm]\left | a_n-3 \right |=\bruch{4}{n+1}<\bruch{4}{\bruch{4-\varepsilon}{\varepsilon}+1}=\varepsilon[/mm]
> Frage:
> 1) Wie gebe ich N explizit an?
'Explizit' ist vielleicht irreführend. Du gibst es erst einmal in Abhängigkeit von [mm]\varepsilon[/mm] an. Wenn du ein bestimmtes [mm]\varepsilon[/mm] vorgibst, kannst du [mm]N(\varepsilon)[/mm] konkret bestimmen.
> 2) Muss ich in der abschätzung immer einmal das n durch
> das N abschätzen?
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Sa 19.05.2012 | | Autor: | quasimo |
danke
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