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Längen bzgl Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Mi 15.02.2017
Autor: mimo1

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] l_{eukl} [/mm] und [mm] l_{hyp}, [/mm] d.h. die Länge bzgl. der flachen euklidischen  Metrik und bzgl der hyperpolischen Metrik

1. [mm] \gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow IH(\IR), t\mapsto re^{it}, 0<\alpha<\beta<\pi. [/mm]

2. [mm] \gamma:[0,1]\rightarrow IH(\IR), t\mapsto z_0+t(z_1-z_0), [/mm] wobei [mm] z_0,z_1\in IH(\IR) [/mm]

Hallo,

könnte mir  jemand da weiterhelfen? Evtl. einen Tipp geben wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.

Dankeschön im voraus.

        
Bezug
Längen bzgl Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Mi 15.02.2017
Autor: Chris84

Huhu,

> Berechnen Sie [mm]l_{eukl}[/mm] und [mm]l_{hyp},[/mm] d.h. die Länge bzgl.
> der flachen euklidischen  Metrik und bzgl der
> hyperpolischen Metrik

Hier waere es schon mal interessant, wie ihr die euklidische und die hyperbolische Metrik definiert habt.

>  
> 1. [mm]\gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow IH(\IR), t\mapsto re^{it}, 0<\alpha<\beta<\pi.[/mm]

Ich nehmen an, IH ist die obere komplexe Halbebene? Auch das waere gut zu wissen :)

>  
> 2. [mm]\gamma:[0,1]\rightarrow IH(\IR), t\mapsto z_0+t(z_1-z_0),[/mm]
> wobei [mm]z_0,z_1\in IH(\IR)[/mm]
>  Hallo,
>  
> könnte mir  jemand da weiterhelfen? Evtl. einen Tipp geben
> wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
>  
> Dankeschön im voraus.

Wenn wir mehr Input von dir bekommen, kann man dir bestimmt auch besser helfen.

Typischerweise wuerde man die gewoehnliche Laenge einer komplexwertigen Kurve mit

[mm] $\int\limits_a^b |\frac{d\gamma}{dt}| [/mm] dt$

berechnen (also eigentlich nur einsetzen).

Man muesste aber halt ganz genau wissen, wie ihr die Laengen definiert habt.

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Längen bzgl Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:25 Mi 15.02.2017
Autor: mimo1

Wir haben es in der VL folgend definiert:

[mm] l_{eukl}(\gamma_0)=\integral_{t_1}^{t_2}{\wurzel{Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})}dt} [/mm]

bzw. [mm] l_{eukl}(\gamma)=\integral_{a}^{b}{\wurzel{\summe{\gamma'_i(t)}} dt} [/mm]

und

[mm] l_{hyp}(\gamma)=\integral_{t_1}^{t_2}{\wurzel{\bruch{1}{(Im\gamma'(t))^2}Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})}dt} [/mm]

ich habe dann für 1) folgendes gemacht:

[mm] \gamma_1'(t)=ire^{it}=ir(cos(t)+isin(t))=ircos(t)-rsin(t) [/mm]

dann ist [mm] l_{eukl}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\wurzel{r^2sin^2(t)} dt}=\integral_{\alpha}^{\beta}{rsin(t)dt}=[-rcos(t)]^{\beta}_{\alpha}=-rcos(\alpha)+rcos(\beta) [/mm]

[mm] l_{hyp}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\wurzel{\bruch{1}{r^2cos(t)^2}r^2sin^2(t)} dt}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\bruch{sin(t)}{cos(t)} dt}=[ln(|cos(t)|)]^{\beta}_{\alpha}=ln(|cos(\beta)|)-ln(|cos(\alpha)|)=ln(bruch{cos(\beta)}{cos(\alpha)}) [/mm] hyperbolischer Abstand

zu 2) [mm] \gamma_2'(t)=z_1-z_0 [/mm]

dann ist [mm] l_{eukl}=\integral_{1}^{0}{\wurzel{(z_1-z_0)^2} dt}=\integral_{0}^{1}{(z_1-z_0)dt}=[t(z_1-z_0)]^1_0=z_1-z_0 [/mm] euklidischer Abstand

ist es bis hierhin soweit richtig?

für [mm] l_{hyp} [/mm] habe ich leider keine Idee. Könnte mir da jemand weiterhelfen?

Bezug
                        
Bezug
Längen bzgl Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Do 16.02.2017
Autor: Chris84

Huhu,

> Wir haben es in der VL folgend definiert:
>  
> [mm]l_{eukl}(\gamma_0)=\integral_{t_1}^{t_2}{\wurzel{Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})}dt}[/mm]
>  
> bzw.
> [mm]l_{eukl}(\gamma)=\integral_{a}^{b}{\wurzel{\summe{\gamma'_i(t)}} dt}[/mm]
>  
> und
>
> [mm]l_{hyp}(\gamma)=\integral_{t_1}^{t_2}{\wurzel{\bruch{1}{(Im\gamma'(t))^2}Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})}dt}[/mm]
>  

Ok. Dann ist das ja nur noch einsetzen!

> ich habe dann für 1) folgendes gemacht:
>  
> [mm]\gamma_1'(t)=ire^{it}=ir(cos(t)+isin(t))=ircos(t)-rsin(t)[/mm]
>  
> dann ist
> [mm]l_{eukl}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\wurzel{r^2sin^2(t)} dt}=\integral_{\alpha}^{\beta}{rsin(t)dt}=[-rcos(t)]^{\beta}_{\alpha}=-rcos(\alpha)+rcos(\beta)[/mm]

Hmmm, bei [mm] $Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})$ [/mm] habe ich [mm] $r^2$ [/mm] raus. Beachte auch, dass [mm] $\alpha=0$ [/mm] und [mm] $\beta=\pi$ [/mm] ist.

>  
> [mm]l_{hyp}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\wurzel{\bruch{1}{r^2cos(t)^2}r^2sin^2(t)} dt}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\bruch{sin(t)}{cos(t)} dt}=[ln(|cos(t)|)]^{\beta}_{\alpha}=ln(|cos(\beta)|)-ln(|cos(\alpha)|)=ln(bruch{cos(\beta)}{cos(\alpha)})[/mm]
> hyperbolischer Abstand

Der Integrand stimmt nicht (s.o.) und die Grenzen sind gegeben (s.o.).

>  
> zu 2) [mm]\gamma_2'(t)=z_1-z_0[/mm]
>  
> dann ist [mm]l_{eukl}=\integral_{1}^{0}{\wurzel{(z_1-z_0)^2} dt}=\integral_{0}^{1}{(z_1-z_0)dt}=[t(z_1-z_0)]^1_0=z_1-z_0[/mm]
> euklidischer Abstand

Hier habe ich fuer [mm] $Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})$ $|z_1-z_0|$ [/mm] raus. Der Unterschied zu deinem Ergebnis ist, dass [mm] $|z_1-z_0$ [/mm] wirklich reell (und nichtnegativ) ist wohingegen [mm] $z_1-z_0$ [/mm] komplexwertig ist. Das ist nicht so nett....

>  
> ist es bis hierhin soweit richtig?
>  
> für [mm]l_{hyp}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

habe ich leider keine Idee. Könnte mir da

> jemand weiterhelfen?

Naja, da kannst du doch einfach $1/Im(...}$ hinschreiben und vors Integral ziehen (da konstant).

Gruss,
Chris

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