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Lagrange Interpolation: Nullstellen als Stützwerte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Mo 18.02.2008
Autor: Rutzel

Aufgabe
x= 0,1,2,4, Langrange-Formel anwenden

Hallo,
ich habe zunächst alle Lagrangeglieder berechnet:

[mm] L_0(x)=\bruch{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} [/mm] = [mm] -\bruch{(x-1)(x-2)(x-4)}{8} [/mm]
[mm] \vdots [/mm]
[mm] L_3(x) [/mm] = [mm] \bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)} [/mm] = [mm] \bruch{(x-0)(x-1)(x-2)}{24} [/mm]

Das gesamte Polynom lautet:

[mm] p(x)=y_0*L_0(x)+y_1*L_1(x)+y_2*L_2(x)+y_3*L_3(x) [/mm]

Jetzt setze ich die einzelnen Glieder von oben in dieses Polynom ein, das Problem ist, dass [mm] y_0=\wurzel{0}=0 [/mm] ist, d.h. das erste Glied fällt weg:

[mm] p(x)=\bruch{(x-1)(x-2)(x-4)}{3}-\bruch{\wurzel{2}(x-0)(x-1)(x-4)}{4}+\bruch{2(x-0)(x-1)(x-2)}{24} [/mm]
= [mm] -\bruch{1}{12}(-1+x)(-32+(26-12\wurzel{2})x+(-5+3\wurzel{2})x^2) [/mm]

du nun aber ein Glied fehlt, ist das Polynom um (0,0) herum ziemlich ungenau:
[]Schaubild

Ist das so richtig? Oder habe ich einen Fehler gemacht. Normalerweise sollte doch eine Interpolation an den Stützstellen/werten exakt sein!?

Gruß,
Rutzel

        
Bezug
Lagrange Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Mo 18.02.2008
Autor: blascowitz

Hallo
> Bestimme mit der Lagrangeschen Interpolationsformel das
> Polynom p dritten Grades, das in den Punkten x= 0,1,2,4 mit
> [mm]\wurzel{x}[/mm] übereinstimmt. Vergleiche die Approximation p(3)
> mit dem exakten Wert [mm]\wurzel{3}.[/mm] Zeichne p(x) und
> [mm]\wurzel{x}[/mm] für [mm]x\in[0,4][/mm]
>  Hallo,
>  ich habe zunächst alle Lagrangeglieder berechnet:
>  
> [mm]L_0(x)=\bruch{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}[/mm]
> = [mm]-\bruch{(x-1)(x-2)(x-4)}{8}[/mm]
>  [mm]\vdots[/mm]
>  [mm]L_3(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}[/mm]
> = [mm]\bruch{(x-0)(x-1)(x-2)}{24}[/mm]
>  
> Das gesamte Polynom lautet:
>  
> [mm]p(x)=y_0*L_0(x)+y_1*L_1(x)+y_2*L_2(x)+y_3*L_3(x)[/mm]
>  
> Jetzt setze ich die einzelnen Glieder von oben in dieses
> Polynom ein, das Problem ist, dass [mm]y_0=\wurzel{0}=0[/mm] ist,
> d.h. das erste Glied fällt weg:
>  
> [mm] p(x)=\bruch{(x-1)(x-2)(x-4)}{3}-\bruch{\wurzel{2}(x-0)(x-1)(x-4)}{4}+\bruch{2(x-0)(x-1)(x-2)}{24}[/mm]
>  =
> [mm]-\bruch{1}{12}(-1+x)(-32+(26-12\wurzel{2})x+(-5+3\wurzel{2})x^2)[/mm]
>  

Da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen und zwar beim ersten Lagrangeschen Grundpolynom. [mm] l_{1}(x)=\bruch{(x-0)*(x-2)*(x-4)}{3}. [/mm] Da hast du aus der Null eine 1 gemacht.  

> du nun aber ein Glied fehlt, ist das Polynom um (0,0) herum
> ziemlich ungenau:
>  []Schaubild
>  
> Ist das so richtig? Oder habe ich einen Fehler gemacht.
> Normalerweise sollte doch eine Interpolation an den
> Stützstellen/werten exakt sein!?

Das sollte so sein. Außerdem ist es zu gegebenen Stützstellen eindeutig.

>  
> Gruß,
>  Rutzel

Einen schönen Tach

Bezug
                
Bezug
Lagrange Interpolation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:20 Mo 18.02.2008
Autor: Rutzel

Vielen Dank, dass du den Fehler bestätigt hast. Wenn ich das ganze jetzt nochmals rechne, fällt trotzdem wieder das erste Glied weg. Verrechnet scheine ich mich nicht zu habe, ich mache einen systematischen Fehler den ich nicht finden kann.

Kann mir jemand einen Hinweis geben?

Bezug
                        
Bezug
Lagrange Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Mo 18.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Vielen Dank, dass du den Fehler bestätigt hast. Wenn ich
> das ganze jetzt nochmals rechne, fällt trotzdem wieder das
> erste Glied weg.

Hallo,

ja, natürlich fällt das erste Polynom weg - das doch völlig richtig, denn [mm] \wurzel{0}=0. [/mm]

Wo Dein Fehler liegt, hat Dir blascowitz doch schon gesagt: Dein Interpolationspolynom muß

$ [mm] p(x)=\bruch{(x-\red{0})(x-2)(x-4)}{3}-\bruch{\wurzel{2}(x-0)(x-1)(x-4)}{4}+\bruch{2(x-0)(x-1)(x-2)}{24} [/mm] $

heißen.

Dann tut es alles, was es soll.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Lagrange Interpolation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Mo 18.02.2008
Autor: Rutzel

oha, da habe ich doch glatt einen teil der antwort vorhin übersehen. vielen dank für die schnelle und gut hilfe an euch beide.

gruß

Bezug
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