Laurent-und Potenzreihenentw. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme die Laurententwicklung von [mm] f(z)=e^{\bruch{1}{1-z}} [/mm] auf (z: |z|>1)! |
So, habe dann mal so angefangen:
[mm] e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*(\bruch{1}{1-z})^k
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*(1-z)^{-k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*\summe_{i=0}^{\infty}\vektor{-k \\ i}*(-z)^i
[/mm]
so, weiter komme ich jetzt leider irgendwie nicht mehr und ich weiß auch wieder nicht, wie ich die Potenzreihenentwicklung machen könnte??
Danke für hilfe.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:22 Mi 01.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Bestimme die Laurententwicklung von [mm]f(z)=e^{\bruch{1}{1-z}}[/mm]
> auf (z: |z|>1)!
> So, habe dann mal so angefangen:
>
> [mm]e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*(\bruch{1}{1-z})^k[/mm]
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*(1-z)^{-k}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*\summe_{i=0}^{\infty}\vektor{-k \\ i}*(-z)^i[/mm]
>
> so, weiter komme ich jetzt leider irgendwie nicht mehr und
> ich weiß auch wieder nicht, wie ich die
> Potenzreihenentwicklung machen könnte??
Das ist doch schon eine Potenzreihe (wenn du die Summen richtig umstellst und nach den Exponenten von $z$ sortierst). Allerdings bringt die dir nix, da sie auf [mm] $\{ z : |z| < 1 \}$ [/mm] konvergiert.
Damit du etwas auf [mm] $\{ z : |z| > 1 \}$ [/mm] konvergentes herausbekommst brauchst du eine echte Laurentreihe.
Fangen wir doch mal mit der Funktion [mm] $\frac{1}{1 - z}$ [/mm] an. Wie kannst du sie als Laurentreihe entwickeln, die auf [mm] $\{ z : |z| > 1 \}$ [/mm] konvergiert? Beachte, dass $|1/z| < 1$ ist; du willst also eine Potenzreihe in $1/z$ haben. Nun ist [mm] $\frac{1}{1 - z} [/mm] = [mm] \frac{1/z}{1/z - 1} [/mm] = [mm] -\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - 1/z} [/mm] = [mm] -\frac{1}{z} \sum_{j=0}^\infty (1/z)^j [/mm] = [mm] -\sum_{j=1}^\infty z^{-j}$ [/mm] nach der geometrischen Reihe, und diese Reihe konvergiert fuer $|1/z| < 1$, also fuer $|z| > 1$.
Jetzt versuch das ganze mal mit [mm] $\left(\frac{1}{1 - z}\right)^k$, [/mm] und dann setz das in [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{1-z}\right)^k$ [/mm] ein.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hi, danke für die Anwort.
ist der zweite teil nicht genauso, also analog??
> [mm] \frac{1}{1 - z} [/mm] = [mm] \frac{1/z}{1/z - 1} [/mm] = [mm] -\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - 1/z} [/mm] = [mm] -\frac{1}{z} \sum_{j=0}^\infty (1/z)^j [/mm] = [mm] -\sum_{j=1}^\infty z^{-j}
[/mm]
denn das ganze dann mit $ [mm] \left(\frac{1}{1 - z}\right)^k [/mm] $ mache, dass man dann auf [mm] (-\sum_{j=1}^\infty z^{-j})^k [/mm] kommt???
also insgesamt dann: $ [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (-\sum_{j=1}^\infty z^{-j})^k [/mm] $
ist das so richtig??
grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mi 01.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hi, danke für die Anwort.
>
> ist der zweite teil nicht genauso, also analog??
Nunja, fast.
> > [mm]\frac{1}{1 - z}[/mm] = [mm]\frac{1/z}{1/z - 1}[/mm] = [mm]-\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - 1/z}[/mm]
> = [mm]-\frac{1}{z} \sum_{j=0}^\infty (1/z)^j[/mm] =
> [mm]-\sum_{j=1}^\infty z^{-j}[/mm]
>
> denn das ganze dann mit [mm]\left(\frac{1}{1 - z}\right)^k[/mm]
> mache, dass man dann auf [mm](-\sum_{j=1}^\infty z^{-j})^k[/mm]
> kommt???
Kannst du natuerlich so machen, aber: viel Spass beim ausmultiplizieren! (Bzw. lass es lieber...)
Versuch doch mal gleich eine Potenzreihe von [mm] $\left(\frac{1}{1 - x}\right)^k$ [/mm] zu finden (fuer $k = 1$ ist's die geometrische Reihe); Tipp: geometrische Reihe ableiten!
> also insgesamt dann: [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (-\sum_{j=1}^\infty z^{-j})^k[/mm]
>
> ist das so richtig??
Du muesstest das hoch $k$ noch loswerden.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hi, ist zwar schon länger aber irgendwie habe ich immer noch nicht das Ergebnis dieser Aufgabe.
so, ich leite die Geo. Reihe mal ab, dann habe ich [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}z^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-z})'=\summe_{n=1}^{\infty}nz^{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-z)^2}
[/mm]
Dass hilft mir aber irgendwie immer noch nicht, um was gescheites für $ [mm] \left(\frac{1}{1 - x}\right)^k [/mm] $ zu bekommen...
Was ist eigentlich, wenn ich sage sei h=1-z und das setze ich dann in [mm] e^{\bruch{1}{1-z}} [/mm] ein? d.h. [mm] e^{\bruch{1}{h}}=1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{h} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!h^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3!h^3} [/mm] + ...
naja, dass hat ja jetzt auch nicht wirklich was geändert...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:29 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi, ist zwar schon länger aber irgendwie habe ich immer
> noch nicht das Ergebnis dieser Aufgabe.
>
> so, ich leite die Geo. Reihe mal ab, dann habe ich
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty}z^n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-z})'=\summe_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-z)^2}[/mm]
Schoen. Und was passiert, wenn du nochmal ableitest? Und nochmal? Versuch doch mal ganz allgemein eine Formel fuer die $k$-te Ableitung von der geometrischen Reihe zu finden. Damit kannst du dann das hier beantworten:
> Dass hilft mir aber irgendwie immer noch nicht, um was
> gescheites für [mm]\left(\frac{1}{1 - x}\right)^k[/mm] zu
> bekommen...
>
>
> Was ist eigentlich, wenn ich sage sei h=1-z und das setze
> ich dann in [mm]e^{\bruch{1}{1-z}}[/mm] ein? d.h. [mm]e^{\bruch{1}{h}}=1[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{h}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2!h^2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3!h^3}[/mm] +
> ...
>
> naja, dass hat ja jetzt auch nicht wirklich was geändert...
Du sagst es.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hi felixf nochmal,
ok jetzt habe ich die k-te Ableitung der geo. Reihe, und zwar:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(n(n-1)*...*(n-k+1)*x^{n-k}=\bruch{k!}{(1-x)^{k+1}}
[/mm]
jetzt habe ich im internet gefunden, dass man das ganze auch so schreiben kann, wenn man auf beiden seite durch k! teilt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}*x^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}}
[/mm]
ich sehe jetzt leider immer noch nicht, wie ich das auf $ [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{1-z}\right)^k [/mm] $ und die Laurententwicklung anwenden kann :-(....
|
|
|
| |
|
Hallo jaruleking,
> Hi felixf nochmal,
>
> ok jetzt habe ich die k-te Ableitung der geo. Reihe, und
> zwar:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n(n-1)*...*(n-k+1)*x^{n-k}=\bruch{k!}{(1-x)^{k+1}}[/mm]
>
> jetzt habe ich im internet gefunden, dass man das ganze
> auch so schreiben kann, wenn man auf beiden seite durch k!
> teilt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}*x^n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}[/mm]
>
>
> ich sehe jetzt leider immer noch nicht, wie ich das auf
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{1-z}\right)^k[/mm]
> und die Laurententwicklung anwenden kann :-(....
Nun, setze die gewonnenen Erkenntnis in die Summe ein.
Dies ist aber die Reihe für [mm]\vmat{z} < 1[/mm].
Gefragt ist aber die Reihe für [mm]\vmat{z} > 1[/mm]
Damit Du das auch in eine geometrische Reihe entwickeln kannst,
gehe wie folgt vor:
[mm]\bruch{1}{1-z}=-\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=-\bruch{1}{z}*\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{z}\right)^{i}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi nochmal,
also dieser tipp wurde mir ja schon gegeben:
> $ [mm] \bruch{1}{1-z}=-\bruch{1}{z}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=-\bruch{1}{z}\cdot{}\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{z}\right)^{i} [/mm] $
nur ist doch [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} \not= (\bruch{1}{1-z})^k [/mm] , deswegen kann ich es doch nicht einfach in die Reihe einsetzen, oder doch??
$ [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{1-z}\right)^k [/mm] $ = $ [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$ \bruch{1}{(1-z)^{k+1}}
[/mm]
komm gerade echt nicht weiter.
|
|
|
| |
|
Hallo jaruleking,
> Hi nochmal,
>
> also dieser tipp wurde mir ja schon gegeben:
>
> >
> [mm]\bruch{1}{1-z}=-\bruch{1}{z}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=-\bruch{1}{z}\cdot{}\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{z}\right)^{i}[/mm]
>
> nur ist doch [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}} \not= (\bruch{1}{1-z})^k[/mm]
> , deswegen kann ich es doch nicht einfach in die Reihe
> einsetzen, oder doch??
Ein bischen umformen muß Du schon:
[mm]\left(\bruch{1}{1-z}\right)^k=\bruch{\left(-1\right)^{k}}{z^{k}}*\bruch{1}{\left(1-\bruch{1}{z}\right)^{k}}[/mm]
Und die Reihe für den letzten Ausdruck ist Dir bekannt.
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{1-z}\right)^k[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}[/mm] [mm]\bruch{1}{(1-z)^{k+1}}[/mm]
>
> komm gerade echt nicht weiter.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi,
sorry, dass ich nochmal fragen muss, aber $ [mm] \left(\bruch{1}{1-z}\right)^k=\bruch{\left(-1\right)^{k}}{z^{k}}\cdot{}\bruch{1}{\left(1-\bruch{1}{z}\right)^{k}} [/mm] $ hat doch nichts mit der Erkenntis bzw. mit der k-ten Ableitung der Geo. Reihe zu tun??? $ [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [/mm] $ $ [mm] \bruch{1}{(1-z)^{k+1}} [/mm] $ ??
|
|
|
| |
|
Hallo jaruleking,
> Hi,
>
> sorry, dass ich nochmal fragen muss, aber
> [mm]\left(\bruch{1}{1-z}\right)^k=\bruch{\left(-1\right)^{k}}{z^{k}}\cdot{}\bruch{1}{\left(1-\bruch{1}{z}\right)^{k}}[/mm]
> hat doch nichts mit der Erkenntis bzw. mit der k-ten
> Ableitung der Geo. Reihe zu tun??? [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{(1-z)^{k+1}}[/mm] ??
Die haben erstmal nichts miteinander zu tun.
Du kannst hier
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}\cdot{}x^n = \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm]
für [mm]x=\bruch{1}{z}[/mm] einsetzen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi, also nochmal zu dieser Aufgabe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}\cdot{}x^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm] für $ [mm] x=\bruch{1}{z} [/mm] $ folgt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}\cdot{}(\bruch{1}{z})^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-\bruch{1}{z} )^{k+1}} [/mm] , dies konvergiert jetzt für z>1. somit folgt:
[mm] e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\cdot{}(\bruch{1}{1-z})^k =\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z} )^{k+1}}
[/mm]
So, ist das jetzt schon die Laurententwicklung von der Fkt.?? Aber in Beitrag Nr. 3 sagt ja Felix, mann muss das hoch k auch loswerden, habe es aber irgendwie immer noch drin....
|
|
|
| |
|
Hallo jaruleking,
> Hi, also nochmal zu dieser Aufgabe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}\cdot{}x^n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}[/mm] für [mm]x=\bruch{1}{z}[/mm] folgt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}\cdot{}(\bruch{1}{z})^n[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z} )^{k+1}}[/mm] , dies konvergiert
> jetzt für z>1. somit folgt:
>
> [mm]e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\cdot{}(\bruch{1}{1-z})^k =\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z} )^{k+1}}[/mm]
Das stimmt nicht ganz:
[mm]e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\cdot{}(\bruch{1}{1-z})^k =\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\red{\bruch{1}{z^{k}}}\bruch{\red{\left(-1\right)^{k}}}{(1-\bruch{1}{z} )^{\red{k}}}[/mm]
Und für [mm]\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z} )^{k}}[/mm] setzt Du die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k-1 \\ k-1}\cdot{}(\bruch{1}{z})^n[/mm] ein.
>
> So, ist das jetzt schon die Laurententwicklung von der
> Fkt.?? Aber in Beitrag Nr. 3 sagt ja Felix, mann muss das
> hoch k auch loswerden, habe es aber irgendwie immer noch
> drin....
Gruß
MathePower
|
|
|
|
