Lineare Abhängigkeit beweisen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Di 08.05.2012 | | Autor: | jackyooo |
| Aufgabe | Sei A eine Matrix aus R2,2 und seien [mm]\vec v1 , \vec v2[/mm] Vektoren aus [mm] R^2. [/mm] Beweisen oder wiederlegen Sie folgende Aussage:
Sind [mm]\vec v1[/mm] und [mm]\vec v2[/mm] linear abhängig, so sind auch [mm]A*\vec v1[/mm] und [mm]A*\vec v2[/mm] linear abhängig. |
Nabend,
wie kann ich den Satz beweisen?
Mir fehlt da jeglicher Lösungsansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo jackyooo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei A eine Matrix aus R2,2 und seien [mm]\vec v1 , \vec v2[/mm]
> Vektoren aus [mm]R^2.[/mm] Beweisen oder wiederlegen Sie folgende
> Aussage:
> Sind [mm]\vec v1[/mm] und [mm]\vec v2[/mm] linear abhängig, so sind auch
> [mm]A*\vec v1[/mm] und [mm]A*\vec v2[/mm] linear abhängig.
> Nabend,
>
> wie kann ich den Satz beweisen?
> Mir fehlt da jeglicher Lösungsansatz.
Na, setz doch einfach mal eine allgemeine Matrix A=[mm]\pmat{ a & b \\
c & d } [/mm] an und [mm] \vec{v}_1=\vektor{x\\y}
[/mm]
Dann muss ja [mm] \vec{v}_2=u\vektor{x\\y} [/mm] sein mit [mm] u\in\IR\setminus\{0\}.
[/mm]
Was ergeben dann die beiden zu untersuchenden Produkte?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Di 08.05.2012 | | Autor: | jackyooo |
Danke für die Begrüßung und die Hilfe :)
Das versteh ich nicht. Wenn ich das ausmultipliziere, bin ich bei:
[mm] \pmat{ ax+by \\ cx+dy }
[/mm]
Nur was sagt mir das über die Lineare Unabhängigkeit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Begrüßung und die Hilfe :)
>
> Das versteh ich nicht. Wenn ich das ausmultipliziere, bin
> ich bei:
>
> [mm]\pmat{ ax+by \\ cx+dy }[/mm]
korrekt:
Es ist (hier)
$$A [mm] \bullet \vektor{x\\y}=\pmat{a & b \\ c & d}\bullet \vektor{x\\y}=\pmat{ax+by \\ cx+dy}\,.$$
[/mm]
(Ich schreibe mal Matrizenprodukte mit [mm] $\bullet\,,$ [/mm] und [mm] $\cdot$ [/mm] ist dann die skalare Multiplikation.)
Was ist also
$$A [mm] \bullet \vektor{u \cdot x\\u\cdot y}=\pmat{a & b \\ c & d}\bullet \underbrace{\vektor{u \cdot x\\u\cdot y}}_{=u \cdot \vektor{x\\y}}\text{?}$$
[/mm]
P.S.
Du kannst es Dir auch direkt allgemein überlegen:
Wir haben ja zu prüfen, ob [mm] $\vec{w}:=A \bullet \vec{v}_1$ [/mm] und [mm] $\vec{z}:=A \bullet \vec{v}_2$ [/mm] linear abhängig sind, wenn [mm] $\vec{v}_1$ [/mm] und [mm] $\vec{v}_2$ [/mm] dies sind:
Sei also [mm] $\vec{z}=u\cdot \vec{w}\,$ [/mm] mit einem Skalar [mm] $u\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $$\vec{z}=A \bullet [/mm] (u [mm] \cdot \vec{w})=...$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:22 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo jackyooo,
>
> > Sei A eine Matrix aus R2,2 und seien [mm]\vec v1 , \vec v2[/mm]
> > Vektoren aus [mm]R^2.[/mm] Beweisen oder wiederlegen Sie folgende
> > Aussage:
> > Sind [mm]\vec v1[/mm] und [mm]\vec v2[/mm] linear abhängig, so sind auch
> > [mm]A*\vec v1[/mm] und [mm]A*\vec v2[/mm] linear abhängig.
> > Nabend,
> >
> > wie kann ich den Satz beweisen?
> > Mir fehlt da jeglicher Lösungsansatz.
>
> Na, setz doch einfach mal eine allgemeine Matrix A=[mm]\pmat{ a & b \\
c & d }[/mm]
> an und [mm]\vec{v}_1=\vektor{x\\y}[/mm]
>
> Dann muss ja [mm]\vec{v}_2=u\vektor{x\\y}[/mm] sein mit
> [mm]u\in\IR\red{\setminus\{0\}}.[/mm]
nein: Es darf auch [mm] $\vec{v}_2=0\cdot \vektor{x\\y}$ [/mm] sein! Dass das vielleicht ein trivialer Fall ist, ist eine andere Sache 
(Anders gesagt: Du darfst das obige schreiben, wenn Du beginnst mit: Der Fall [mm] $\vec{v}_1=\vektor{0\\0}$ [/mm] bzw. [mm] $\vec{v}_2=\vektor{0\\0}$ [/mm] ist trivial - o.B.d.A. sei also sowohl [mm] $\vec{v}_1\not=\vektor{0\\0}$ [/mm] als auch [mm] $\vec{v}_2\not=\vektor{0\\0}\,...$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 00:31 Mi 09.05.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
danke für den Einwurf. Du hast natürlich vollkommen Recht.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:57 Mi 09.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Es gibt t,s [mm] \in \IR [/mm] mit (t,s) [mm] \ne [/mm] (0,0) und [mm] tv_1+sv_2=0.
[/mm]
Finde nun a,b [mm] \in \IR [/mm] mit (a,b) [mm] \ne [/mm] (0,0) und [mm] aAv_1+bAv_2=0.
[/mm]
FRED
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