Linearität von Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Sa 10.02.2007 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden Abbildungen [mm] F:V \to V [/mm] auf dem jeweiligen K-Vektorraum [mm] V[/mm] linear sind, und beweisen Sie ihre Aussage:
[mm] (i) [mm] K=\IR, V=\IR^2, F(\vektor{x \\ y}):=\vektor{x^2 \\ y}.
[/mm]
(ii) [mm] K=\IR, V=C^{\infty}(\IR,\IR), [/mm] F(f):=f´+2f(1).
(iii) [mm] K=\IC, V=\IC, F(z):=z+\overline{z}.
[/mm]
(iv) [mm] K=\IR, V=\IC, F(z):=z+\overline{z}. [/mm] |
Hallo!
Ich weiß zur Aufgabe, dass ich zeigen muss, dass gilt: [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V, [mm] \forall \lambda, \mu \in [/mm] K: [mm] L(\lambda [/mm] v + [mm] \mu w)=\lambda L(v)+\mu [/mm] L(w).
Zu i) müsste das doch wie folgt sein, oder?
[mm] F(\lambda(x_1,y_1)+\mu(x_2,y_2))
[/mm]
[mm] =F(\lambda x_1 [/mm] + [mm] \mu x_2, \lambda y_1 [/mm] + [mm] \mu y_2)
[/mm]
[mm] =(\lambda x_1 [/mm] + [mm] \mu x_2)^2, \lambda y_1 [/mm] + [mm] \mu y_2) [/mm]
[mm] =((\lambda x_1)^2 [/mm] + [mm] 2(\lambda x_1 \mu x_2) [/mm] + [mm] (\mu x_2)^2, \lambda y_1 [/mm] + [mm] \mu y_2)
[/mm]
[mm] \not=\lambda F(x_1, y_1) [/mm] + [mm] \mu F(x_2, y_2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die Abbildung ist nicht linear
Zu ii) habe ich keine Idee. Mir ist nicht klar, wovon ich die Ableitung bilden soll!
Bei iii) und iv) verstehe ich den Unterschied nicht, den der K-Vektorraum bewirken soll. Für beide Aufgaben erhalte ich das gleiche Ergebnis:
[mm] z+\overline{z}=x+iy+(x-iy)=2x
[/mm]
[mm] F(\lambda z_1 [/mm] + [mm] \mu z_2)
[/mm]
[mm] =F(\lambda (x_1+iy_1) [/mm] + [mm] \mu (x_2+iy_2))
[/mm]
[mm] =F(\lambda x_1 [/mm] + [mm] \mu x_2 [/mm] + [mm] i(\lambda y_1 [/mm] + [mm] \mu y_2))
[/mm]
[mm] =2(\lambda x_1 [/mm] + [mm] \mu x_2)
[/mm]
= [mm] \lambda (2x_1) [/mm] + [mm] \mu (2x_2)
[/mm]
= [mm] \lambda F(z_1)+ \mu F(z_2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die Abbildung ist linear
Ist das richtig?
Vielen Dank fürs Nachrechnen!
xsara
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Hallo xsara,
(i) stimmt so, wie du's gerechnet hast.
(ii) du bildest die Ableitung von der Funktion aus V, die du in F einsetzt [weil du nicht weißt, wie f aussieht, kannst du das nicht explizit berechnen, sondern schreibst stattdessen allgemein f' ].
Jetzt speziell in dieser Aufgabe musst du also prüfen, ob gilt:
(1) F( [mm] \lambda [/mm] f)= [mm] \lambda [/mm] F(f), für bel. [mm] \lambda [/mm] aus K
(2) F ( f + g) = F(f) + F(g)
[Ist äquivalent zu deiner Methode in einem Schritt: [mm] F(\lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] g) = [mm] \lambda [/mm] F(f) + [mm] \mu [/mm] F(g) . Ich persönlich finde es so nur etwas übersichtlicher]
zu (2) etwa:
F(f + g ) = (f + g )' + 2(f+g)(1) | an der Stelle erstmal f+g in F eingesetzt. Jetzt weiß man mit der Summenregel, dass (f+g)' = f' + g' ist, also folgt
= f' + g' + 2(f(1) + g(1)) = f' + 2f(1) + g' + 2g(1) = F(f) + F(g)
(iii) / (iv) Der Unterschied besteht darin, dass du in (iii) einen Vektorraum über dem Körper [mm] \IC [/mm] hast und in (iv) einen Vektorraum über dem Körper [mm] \IR.
[/mm]
Das heißt also, dass wenn du [mm] F(\lambda z_{1} [/mm] + [mm] \mu z_{2}) [/mm] = [mm] \lambda F(z_{1}) [/mm] + [mm] \mu F(z_{2}) [/mm] beweisen willst, du in (iii) komplexe [mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] i\lambda_{2} [/mm] und [mm] \mu [/mm] hast und in (iv) sind das reelle Werte.
Wenn du also Regel (1) [mm] F(\lambda [/mm] z)= [mm] \lambda [/mm] F(z), für z=x+iy [mm] \in \IC [/mm] und [mm] \lambda [/mm] aus K bel. zeigen willst, folgt in (iv):
[mm] F(\lambda [/mm] z) = [mm] F(\lambda [/mm] + [mm] i\lambda [/mm] y) = 2 [mm] \lambda [/mm] x = [mm] \lambda [/mm] F(z) [also auch das, was du als Resultat herausbekommen hast, so dass letztlich (iv) linear ist]
Ist [mm] \lambda [/mm] aber aus [mm] \IC, [/mm] etwa [mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] i\lambda_{2}, [/mm] dann ergibt [mm] sich:F(\lambda [/mm] z) = F( [mm] (\lambda_{1} [/mm] + [mm] i\lambda_{2})*(x [/mm] + iy)) = F( [mm] \lambda_{1}x [/mm] - [mm] \lambda_{2}y [/mm] + i*[...]) = [mm] 2\lambda_{1}x [/mm] - [mm] 2\lambda_{2}y [/mm] und das ist etwas anderes als [mm] \lambda [/mm] F(z) = [mm] (\lambda_{1} [/mm] + [mm] i\lambda_{2} [/mm] ) * 2x, also ist (iii) nicht linear.
Ich hoffe, das ist dir eine Hilfe (auch wenn's vom Layout nicht ganz so chic ist wie deins ;) )
Bei weiteren Fragen feel free 2 ask..
Liebe Grüße..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Sa 10.02.2007 | | Autor: | xsara |
Lieber westpark,
vielen Dank für deine Hilfe. Hat mir echt weitergeholfen!
LG
xsara
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