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Linearkombination: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Di 04.02.2014
Autor: xx_xx_xx

Aufgabe
Gegeben:
Orthonormalsystem: [mm] \vec{e_{1}}= \alpha *\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}} [/mm]   ;   [mm] \vec{e_{2}}= \beta *\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}} [/mm]  ;   [mm] \vec{e_{3}}= \gamma *\vektor{x_{3} \\ y_{3} \\ z_{3}} [/mm]

Stellen Sie [mm] \vec{v}=\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}} [/mm] mit Hilfe des Skalarproduktes als Linearkombination von [mm] e_{1}, e_{2}, e_{3} [/mm] dar.

Ich wollte fragen, ob ich die Aufgabenstellung richtig verstehe.

Da es sich um ein Orthonormalsystem handelt, sind die Vektoren normiert.

Dann berechne ich die Faktoren [mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu [/mm] , [mm] \nu [/mm]  mit Hilfe des Skalarproduktes:

[mm] \lambda=\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}} [/mm] * [mm] \alpha *\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}} [/mm]

[mm] \mu [/mm] = [mm] \vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}} [/mm] * [mm] \beta *\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}} [/mm]

[mm] \nu [/mm] = [mm] \vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}} [/mm] * [mm] \gamma *\vektor{x_{3} \\ y_{3} \\ z_{3}} [/mm]

Und die Linearkombination ist dann:

[mm] \vec{v'}= \lambda* \vec{e_{1}}+\mu*\vec{e_{2}}+\nu*\vec{e_{3}}=\vektor{v'_{1} \\ v'_{2} \\ v'_{3}} [/mm]


Ist das so richtig?

Vielen Dank!
LG

        
Bezug
Linearkombination: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Di 04.02.2014
Autor: Sax

Hi,

> Gegeben:
>  Orthonormalsystem: [mm]\vec{e_{1}}= \alpha *\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}}[/mm]
>   ;   [mm]\vec{e_{2}}= \beta *\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}}[/mm]  
> ;   [mm]\vec{e_{3}}= \gamma *\vektor{x_{3} \\ y_{3} \\ z_{3}}[/mm]
>  

Da fragt man sich, was die [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] , [mm] \gamma [/mm] hier sollen, denn die kann man doch beliebig in die Spaltenvektoren hinein- oder herausziehen.
Diese Spaltenvektoren stellen offenbar die Koordinaten von [mm] \vec{e_i} [/mm] bezüglich einer anderen zugrundeliegenden Basis [mm] B=\{\vec{b_1},\vec{b_2},\vec{b_3}\} [/mm] dar gemäß [mm] \vec{e_1}=\alpha*x_1*\vec{b_1}+\alpha*y_1*\vec{b_2}+\alpha*z_1*\vec{b_3} [/mm] usw.
Dafür schreiben wir jetzt mal [mm] \vec{e_{1}}= \alpha *\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}}_B [/mm] usw.

> Stellen Sie [mm]\vec{v}=\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}[/mm]

gemeint ist dann offensichtlich [mm] \vec{v}=\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}_B [/mm]

> mit
> Hilfe des Skalarproduktes als Linearkombination von [mm]e_{1}, e_{2}, e_{3}[/mm]
> dar.
>  Ich wollte fragen, ob ich die Aufgabenstellung richtig
> verstehe.

Gesucht sind die Koordinaten von [mm] \vec{v} [/mm] bzgl. der Basis [mm] E=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}, [/mm] also [mm] \vec{v}=v_1'*\vec{e_1}+v_2'*\vec{e_2}+v_3'*\vec{e_3}=\vektor{v_{1}' \\ v_{2}' \\ v_{3}'}_E [/mm]

>  
> Da es sich um ein Orthonormalsystem handelt, sind die
> Vektoren normiert.

und paarweise orthogonal.

>  
> Dann berechne ich die Faktoren [mm]\lambda[/mm] , [mm]\mu[/mm] , [mm]\nu[/mm]  mit
> Hilfe des Skalarproduktes:

Was du hier mit [mm] \lambda ,\mu ,\nu [/mm] bezeichnest, sind wohl [mm] v_1', v_2', v_3'. [/mm]
(Warum so viele unterschiedliche Buchstaben ?)

>  
> [mm]\lambda=\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}[/mm] * [mm]\alpha *\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}}[/mm]
>  
> [mm]\mu[/mm] = [mm]\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}[/mm] * [mm]\beta *\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}}[/mm]
>  
> [mm]\nu[/mm] = [mm]\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}[/mm] * [mm]\gamma *\vektor{x_{3} \\ y_{3} \\ z_{3}}[/mm]

Ich würde hier auf die Koordinatenschreibweise verzichten, aber in der Tat ist [mm] v_1'=\vec{v}*\vec{e_1} [/mm] usw.
Diese Gleichungen sind unter Ausnutzung der Eigenschaften einer Orthonormalbasis nachzuweisen !

>  
> Und die Linearkombination ist dann:
>  
> [mm]\vec{v'}= \lambda* \vec{e_{1}}+\mu*\vec{e_{2}}+\nu*\vec{e_{3}}=\vektor{v'_{1} \\ v'_{2} \\ v'_{3}}[/mm]
>  
>

Links muss es [mm] \vec{v} [/mm] heißen. Der Vektor [mm] \vec{v} [/mm] ändert sich nicht, auch wenn seine Koordinaten bzgl. verschiedener Basen unterschiedlich sind.

Gruß Sax.


Bezug
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