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Lösung der Gleichung: Idee, Hilfe, Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Di 14.06.2016
Autor: Dom_89

Aufgabe
Geben Sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der Gleichung

[mm] z^{3} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{27} [/mm]

in kartesicher Form an

Hallo,

mein Ansatz lautet wie folgt:


[mm] z^{3} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{27} [/mm]

z3 = 1/27 * ( cos(180°) + i * sin(180° ) )

z = [mm] \wurzel[3]{1/27 * ( cos(180°) + i * sin(180° ) ) } [/mm]

z = 1/3 * ( cos(60°) + i* sin(60°) )


Kann man das so machen ? Wie komme ich dann weiter ?

Vielen Dank für eure Hilfe :)

        
Bezug
Lösung der Gleichung: Moivre-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Di 14.06.2016
Autor: Loddar

Hallo Dom!


Ganz so einfach ist es nicht.


> z3 = 1/27 * ( cos(180°) + i * sin(180° ) )

[ok]

Und ab hier verwendet man i.d.R. die MBMoivre-Formel mit:

[mm] $\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)*i\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Lösung der Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Mi 15.06.2016
Autor: Dom_89

Hallo Loddar,

vielen Dank für die schnelle Antwort!

Mit der von dir genannten Formel

$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $

komme ich dann auf folgende Lösungen:

[mm] z_{1} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*1 [/mm]

[mm] z_{2} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i [/mm]

[mm] z_{3} =\wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i [/mm]

Ist das so richtig, oder kann/muss ich noch etwas umschreiben ?

Bezug
                        
Bezug
Lösung der Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mi 15.06.2016
Autor: fred97


> Hallo Loddar,
>  
> vielen Dank für die schnelle Antwort!
>  
> Mit der von dir genannten Formel
>  
> [mm]\wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)[/mm]
>  
> komme ich dann auf folgende Lösungen:
>  
> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*1[/mm]

da fehlt ein Minuszeichen


>  
> [mm]z_{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i[/mm]

da fehlen Klammern


>  
> [mm]z_{3} =\wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i[/mm]

[mm] z_3=z_2 [/mm] ??

fred


>  
> Ist das so richtig, oder kann/muss ich noch etwas
> umschreiben ?


Bezug
                                
Bezug
Lösung der Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 So 19.06.2016
Autor: Dom_89

Hallo fred,

hier noch einmal meine korrigierten Lösungen:

[mm] z_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

[mm] z_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm]

[mm] z_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm]

Sind die Lösungen nun so in Ordnung?

Viele Grüße






Bezug
                                        
Bezug
Lösung der Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 So 19.06.2016
Autor: Herby

Hallo Dom,

> Hallo fred,
>  
> hier noch einmal meine korrigierten Lösungen:
>  
> [mm]z_{1}[/mm] [mm] =\red{-}[/mm]  [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> [mm]z_{2}[/mm] [mm] =\red{-}[/mm]  [mm]\bruch{1}{3} (-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm]
>  
> [mm]z_{3}[/mm] [mm] =\red{-}[/mm]  [mm]\bruch{1}{3} (-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm]
>  
> Sind die Lösungen nun so in Ordnung?
>  
> Viele Grüße

[daumenhoch] - bis auf das Minus [mm] $('\red{-}'\ [/mm] nachtr"aglich\ eingef"ugt)$, welches vorher bereits erwähnt wurde!

Anm.: der Faktor [mm] \red{-}1/2 [/mm] ließe sich auch noch ausklammern, was zu

[mm] z_1=\red{-}\frac13 [/mm]

[mm] $z_2=\frac16*(1-\wurzel{3}\ [/mm] i)$

[mm] $z_2=\frac16*(1+\wurzel{3}\ [/mm] i)$

führen würde.


LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby

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Lösung der Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 So 19.06.2016
Autor: willyengland

Die Aufgabe ist doch [mm] z^3 [/mm] = minus 1/27

Bezug
                                                        
Bezug
Lösung der Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 So 19.06.2016
Autor: Herby

Hi,

> Die Aufgabe ist doch [mm]z^3[/mm] = minus 1/27

ja, da hast du recht - hab's korrigiert.

Danke [hut]

Bezug
                        
Bezug
Lösung der Gleichung: Wurzelterm berechnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 Do 16.06.2016
Autor: Loddar

Hallo Dom!


Zur Frage der Vereinfachung:

[mm] $\wurzel[3]{\bruch{1}{27}}$ [/mm] lässt sich auch noch wunderbar vereinfachen!


Gruß
Loddar

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