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| Aufgabe | Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
$f(x,y,z) = 2x+3y+2z$
auf dem Durchschnitt des Zylinders
$Z := [mm] \{(x,y,z) | x^2+y^2=2\}$
[/mm]
und der Ebene
$E := [mm] \{(x,y,z) | x+z=1\}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich stecke bei dieser Aufgabe beim Bestimmen der Art der Extrema fest und hoffe, dass Ihr mir da weiterhelfen könnt.
Ich habe zunächst die Nebenbedingungen umgeformt und die Hilfsfunktion gebildet:
[mm] $L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) [/mm] = [mm] 2x+3y+2z-\lambda_1 x^2 [/mm] - [mm] \lambda_1 y^2 [/mm] - 2 [mm] \lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda_2 [/mm] x - [mm] \lambda_2 [/mm] z + [mm] \lambda_2$
[/mm]
Der Gradient davon ist:
$grad(L) = [mm] \vektor{2-2 \lambda_1 x - \lambda_2 \\ 3 - 2 \lambda_1 y \\ 2 - \lambda_2 \\ -x^2-y^2+2 \\ -x-z+1}$
[/mm]
Damit komme ich auf folgende Extremstellen (und Lagrange-Multiplikatoren):
[mm] $E_1(0,\sqrt{2},1,\frac{3}{2 \sqrt{2}},2) \vee E_2(0,-\sqrt{2},1,-\frac{3}{2 \sqrt{2}},2)$
[/mm]
Nun setze ich die berechneten Werte für [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] in $L$ ein und erhalte:
[mm] $\tilde L_{\lambda_1} [/mm] (x,y,z) = 3y - [mm] \frac{3x^2}{2 \sqrt{2}} [/mm] - [mm] \frac{3y^2}{2 \sqrt{2}} [/mm] + [mm] \frac{3}{\sqrt{2}} [/mm] + 2$
[mm] $\tilde L_{\lambda_1} [/mm] (x,y,z) = 3y + [mm] \frac{3x^2}{2 \sqrt{2}} [/mm] + [mm] \frac{3y^2}{2 \sqrt{2}} [/mm] - [mm] \frac{3}{\sqrt{2}} [/mm] + 2$
Die zugehörigen Hessematrizen sind dann:
[mm] $H_{L_{\lambda_1}} [/mm] = [mm] \pmat{ - \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
[mm] $H_{L_{\lambda_2}} [/mm] = [mm] \pmat{ \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Das ist zwar alles wunderbar symmetrisch, aber beide Hessematrizen sind semi-definit (die erste negativ, die zweite positiv) – doch ich brauche ja positiv bzw. negativ definite Hessematrizen für lokale Minima bzw. lokale Maxima, richtig?
Was kann/muss ich hier tun?
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Apfelchips,
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
> [mm]f(x,y,z) = 2x+3y+2z[/mm]
> auf dem Durchschnitt des Zylinders
> [mm]Z := \{(x,y,z) | x^2+y^2=2\}[/mm]
> und der Ebene
> [mm]E := \{(x,y,z) | x+z=1\}[/mm]
>
>
>
> Hallo zusammen,
>
> ich stecke bei dieser Aufgabe beim Bestimmen der Art der
> Extrema fest und hoffe, dass Ihr mir da weiterhelfen
> könnt.
>
> Ich habe zunächst die Nebenbedingungen umgeformt und die
> Hilfsfunktion gebildet:
> [mm]L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = 2x+3y+2z-\lambda_1 x^2 - \lambda_1 y^2 - 2 \lambda_1 - \lambda_2 x - \lambda_2 z + \lambda_2[/mm]
>
> Der Gradient davon ist:
> [mm]grad(L) = \vektor{2-2 \lambda_1 x - \lambda_2 \\ 3 - 2 \lambda_1 y \\ 2 - \lambda_2 \\ -x^2-y^2+2 \\ -x-z+1}[/mm]
>
> Damit komme ich auf folgende Extremstellen (und
> Lagrange-Multiplikatoren):
> [mm]E_1(0,\sqrt{2},1,\frac{3}{2 \sqrt{2}},2) \vee E_2(0,-\sqrt{2},1,-\frac{3}{2 \sqrt{2}},2)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun setze ich die berechneten Werte für [mm]\lambda_1[/mm] und
> [mm]\lambda_2[/mm] in [mm]L[/mm] ein und erhalte:
> [mm]\tilde L_{\lambda_1} (x,y,z) = 3y - \frac{3x^2}{2 \sqrt{2}} - \frac{3y^2}{2 \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} + 2[/mm]
>
> [mm]\tilde L_{\lambda_1} (x,y,z) = 3y + \frac{3x^2}{2 \sqrt{2}} + \frac{3y^2}{2 \sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{2}} + 2[/mm]
>
> Die zugehörigen Hessematrizen sind dann:
>
> [mm]H_{L_{\lambda_1}} = \pmat{ - \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]H_{L_{\lambda_2}} = \pmat{ \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Das ist zwar alles wunderbar symmetrisch, aber beide
> Hessematrizen sind semi-definit (die erste negativ, die
> zweite positiv) – doch ich brauche ja positiv bzw.
> negativ definite Hessematrizen für lokale Minima bzw.
> lokale Maxima, richtig?
>
> Was kann/muss ich hier tun?
>
Aus den Nebenbedingungen erhältst Du y(x) und z(x).
Diese kannst Du in f(x,y,z) einsetzen und die Untersuchung
der Extrema wie gewohnt durchführen.
> Viele Grüße
> Patrick
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
> Aus den Nebenbedingungen erhältst Du y(x) und z(x).
> Diese kannst Du in f(x,y,z) einsetzen und die
> Untersuchung
> der Extrema wie gewohnt durchführen.
$Z:= [mm] \{(x,y,z) | x^2+y^2=2\}$ [/mm] kann ich aber doch gar nicht eindeutig nach $y$ umstellen und somit auch nicht in $f$ einsetzen.
Offen gesagt verstehe ich auch nicht ganz, warum ich das nun tun soll: Wenn das funktionieren würde, dann hätte ich mir das Lagrange-Verfahren doch auch sparen können und die Nebenbedingungen direkt umformen und in $f$ einsetzen können, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 So 07.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo MathePower,
>
> > Aus den Nebenbedingungen erhältst Du y(x) und z(x).
> > Diese kannst Du in f(x,y,z) einsetzen und die
> > Untersuchung
> > der Extrema wie gewohnt durchführen.
>
> [mm]Z:= \{(x,y,z) | x^2+y^2=2\}[/mm] kann ich aber doch gar nicht
> eindeutig nach [mm]y[/mm] umstellen und somit auch nicht in [mm]f[/mm]
> einsetzen.
>
> Offen gesagt verstehe ich auch nicht ganz, warum ich das
> nun tun soll: Wenn das funktionieren würde, dann hätte
> ich mir das Lagrange-Verfahren doch auch sparen können und
> die Nebenbedingungen direkt umformen und in [mm]f[/mm] einsetzen
> können, oder?
Zumindest kannst Du eine Variable problemlos eliminieren: z=1-x
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 So 07.07.2013 | | Autor: | Apfelchips |
> Zumindest kannst Du eine Variable problemlos eliminieren:
> z=1-x
Jetzt geht mir ein Licht auf: $z=1-x$ in die Funktion eingesetzt sorgt dafür, dass letztere nicht mehr von $z$ abhängt.
Damit wird auch die Hilfsfunktion "kleiner" und die Hessematrix ist nur noch eine 2x2-Matrix, in welcher sich dann die Eigenwerte zur Definheit-Bestimmung direkt ablesen kann.
Damit lässt sich dann das Maximum [mm] $(0,\sqrt{2},1,2+3\sqrt{2})$ [/mm] und das Minimum [mm] $(0,-\sqrt{2},1,2-3\sqrt{2})$ [/mm] bestimmen.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 So 07.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
> [mm]f(x,y,z) = 2x+3y+2z[/mm]
> auf dem Durchschnitt des Zylinders
> [mm]Z := \{(x,y,z) | x^2+y^2=2\}[/mm]
> und der Ebene
> [mm]E := \{(x,y,z) | x+z=1\}[/mm]
>
>
>
> Hallo zusammen,
>
> ich stecke bei dieser Aufgabe beim Bestimmen der Art der
> Extrema fest und hoffe, dass Ihr mir da weiterhelfen
> könnt.
>
> Ich habe zunächst die Nebenbedingungen umgeformt und die
> Hilfsfunktion gebildet:
> [mm]L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = 2x+3y+2z-\lambda_1 x^2 - \lambda_1 y^2 - 2 \lambda_1 - \lambda_2 x - \lambda_2 z + \lambda_2[/mm]
>
> Der Gradient davon ist:
> [mm]grad(L) = \vektor{2-2 \lambda_1 x - \lambda_2 \\ 3 - 2 \lambda_1 y \\ 2 - \lambda_2 \\ -x^2-y^2+2 \\ -x-z+1}[/mm]
>
> Damit komme ich auf folgende Extremstellen (und
> Lagrange-Multiplikatoren):
> [mm]E_1(0,\sqrt{2},1,\frac{3}{2 \sqrt{2}},2) \vee E_2(0,-\sqrt{2},1,-\frac{3}{2 \sqrt{2}},2)[/mm]
Den Schnitt von Z und E nenne ich K. K ist kompakt und f ist stetig auf K, also gibt es Punkte [mm] s_1,s_2 \in [/mm] K mit:
[mm] f(s_1)= [/mm] min f(K) und [mm] f(s_2)= [/mm] max f(K).
Die Regel von Lagrange und Deine Rechnung zeigen:
[mm] s_1,s_2 \in \{(0,\sqrt{2},1),(0,-\sqrt{2},1)\}
[/mm]
FRED
>
> Nun setze ich die berechneten Werte für [mm]\lambda_1[/mm] und
> [mm]\lambda_2[/mm] in [mm]L[/mm] ein und erhalte:
> [mm]\tilde L_{\lambda_1} (x,y,z) = 3y - \frac{3x^2}{2 \sqrt{2}} - \frac{3y^2}{2 \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} + 2[/mm]
>
> [mm]\tilde L_{\lambda_1} (x,y,z) = 3y + \frac{3x^2}{2 \sqrt{2}} + \frac{3y^2}{2 \sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{2}} + 2[/mm]
>
> Die zugehörigen Hessematrizen sind dann:
>
> [mm]H_{L_{\lambda_1}} = \pmat{ - \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]H_{L_{\lambda_2}} = \pmat{ \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Das ist zwar alles wunderbar symmetrisch, aber beide
> Hessematrizen sind semi-definit (die erste negativ, die
> zweite positiv) – doch ich brauche ja positiv bzw.
> negativ definite Hessematrizen für lokale Minima bzw.
> lokale Maxima, richtig?
>
> Was kann/muss ich hier tun?
>
> Viele Grüße
> Patrick
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> Den Schnitt von Z und E nenne ich K. K ist kompakt und f
> ist stetig auf K, also gibt es Punkte [mm]s_1,s_2 \in[/mm] K mit:
>
> [mm]f(s_1)=[/mm] min f(K) und [mm]f(s_2)=[/mm] max f(K).
Du nutzt hier den Satz von Weierstraß, richtig?
Der sichert ja nur die Existenz von Maximum und Minimum. Könnte [mm] $f(s_1)$ [/mm] also nicht auch ein Maximum sein und [mm] $f(s_2)$ [/mm] ein Minimum (also genau umgekehrt)?
Denn dann …
>
> Die Regel von Lagrange und Deine Rechnung zeigen:
>
> [mm]s_1,s_2 \in \{(0,\sqrt{2},1),(0,-\sqrt{2},1)\}[/mm]
… wäre (mir) nicht klar, was hier nun Minimum und was Maximum ist. (Klar ist hingegen, dass es ein Minimum und ein Maximum gibt und da ich genau zwei Extremstellen gefunden habe, muss die eine ein Minimum und die andere ein Maximum sein.)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 So 07.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du weisst dass eines ein min, das andere ein max ist, berechne einfach f an den 2 Stellen,
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 So 07.07.2013 | | Autor: | Apfelchips |
> da du weisst dass eines ein min, das andere ein max ist,
> berechne einfach f an den 2 Stellen,
Okay, das klingt plausibel. 
Danke!
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