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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrixgleichung
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Matrixgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Mi 15.02.2017
Autor: laupl

Hallo,
ich habe eine Frage aus der Praxis. Ich werde versuchen alles so gut ich es kann zu beschreiben. Sollte etwas unklar sein, bitte einfach nachfragen. Ich bin halt kein Mathematiker...

Es geht um folgende Gleichung:
[mm] $\boldsymbol{w}^{\rm{H}}\frac{\boldsymbol{C}}{a}\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}^{\rm{H}}\frac{\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{w}$ [/mm]

Dabei sind:
[mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] eine [mm] $[N\times [/mm] N]$ Matrix [mm] $\in \IC$, [/mm]
[mm] $\boldsymbol{w}$ [/mm] ein [mm] $[1\times [/mm] N]$ Vektor [mm] $\in \IC$, [/mm]
$a$ ein Skalar [mm] $\in \IR$, [/mm]
[mm] $\boldsymbol{A}$ [/mm] eine [mm] $[N\times [/mm] N]$ Matrix [mm] $\in \IC$ [/mm] und
[mm] $\rm{H}$ [/mm] bedeutet komplex konjugiert und transponiert.
[mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] und [mm] $\boldsymbol{A}$ [/mm] sind hermitesch.
Der Bruchstrich auf der rechten Gleichungsseite bedeutet elementweises Dividieren (also wie das Hadamard-Produkt, nur eben für die Division).
Ergebnisse auf rechter und linker Seite sind also jeweils Skalare [mm] $\in \IR$. [/mm]

Die Frage ist, ob es für diese Gleichung noch eine andere Lösung als diese hier gibt:
[mm] $\boldsymbol{A}=a\boldsymbol{E}$, [/mm]
mit der Einheitsmatrix [mm] $\boldsymbol{E}$, [/mm] welche natürlich auch die Dimension [mm] $[N\times [/mm] N]$ hat.

Falls es eine solche Lösung gibt, welche Voraussetzungen muss [mm] $\boldsymbol{A}$ [/mm] dafür erfüllen?

Ich freue mich über Tipps und bin sehr gespannt!
Grüße

        
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Matrixgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Mi 15.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wie viele Lösungen es gibt, hängt im Wesentlichen von der Gestalt von $ [mm] \boldsymbol{C}$ [/mm] sowie von [mm] $\boldsymbol{w}$ [/mm] ab.

ignorieren wir erst mal das [mm] $\boldsymbol{w}$ [/mm] und fragen uns, wann [mm] $\frac{\boldsymbol{C}}{a} [/mm] = [mm] \frac{\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{A}}$ [/mm] gilt, da die Gleichung dann trivialerweise erfüllt ist… bereits da hast du für die vermeindlich einfache Annahme [mm] $\boldsymbol{C} [/mm] = [mm] \boldsymbol{E}$ [/mm] unendlich viele Möglichkeiten für [mm] $\boldsymbol{A}$. [/mm]

Es dürfen dann zwar auf der Diagonalen von [mm] \boldsymbol{A} [/mm] nur Einsen stehen, alle anderen Elemente der oberen (oder unteren) Dreiecksmatrix sind aber beliebig wählbar…

Wie du also siehst: Ohne wesentliche Beschränkungen ist da nicht viel rauszuholen…

Gruß,
Gono

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Matrixgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:19 Do 16.02.2017
Autor: laupl

Hi,
danke für die Antwort.

Kann man mehr aussagen, wenn [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] weder gleich der Einheitsmatrix, noch gleich der Nullmatrix ist?
Vielleicht hilft das auch noch weiter: [mm] $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{cc}^{\rm{H}}$, [/mm] wobei [mm] $\boldsymbol{c}$ [/mm] ein [mm] $[1\times [/mm] N]$ Vektor [mm] $\in \IC$ [/mm] ist. Physikalisch sind die Einträge von [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] Kreuzleistungen [mm] $\in \IC$ [/mm] von stochastischen Signalen. Bzw. auf der Hauptdiagonalen stehen Autoleistungen [mm] $\in \IR$. [/mm]

Grüße

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Matrixgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 Do 16.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Kann man mehr aussagen, wenn [mm]\boldsymbol{C}[/mm] weder gleich
> der Einheitsmatrix, noch gleich der Nullmatrix ist?

das allein reicht nicht aus.
Sobald [mm]\boldsymbol{C}[/mm] einen Nulleintrag hat, kann an dieser Stelle in [mm]\boldsymbol{A}[/mm] ein beliebiger Wert aus [mm] $\IC\setminus \{0\}$ [/mm] stehen… Da fällt mir gerade auf, dass die Lösung [mm]\boldsymbol{A} = a\boldsymbol{E}[/mm] gar nicht wohldefiniert ist, da diese Matrix ja überall Nullen enthält, außer auf der Hauptdiagonalen… wie soll man durch die überhaupt Komponentenweise dividieren?

Gruß,
Gono


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Matrixgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 Do 16.02.2017
Autor: laupl

Hallo,
sorry, mein Fehler. Ich habe bei Einheitsmatrix an eine Matrix gedacht, bei der alle Einträge gleich eins sind. Die Einheitsmatrix ist aber natürlich anders definiert. (Da habe ich mich wohl von dem Matlab-Befehl "ones" beeinflussen lassen...)

In [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] sind alle Einträge ungleich Null. Sind trotzdem Lösungen möglich? Falls ja, wie lassen sich diese einschränken?

Danke.

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Matrixgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Do 16.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  sorry, mein Fehler. Ich habe bei Einheitsmatrix an eine
> Matrix gedacht, bei der alle Einträge gleich eins sind.

Aha, du meinst also [mm] $\boldsymbol{A} [/mm] = [mm] (a_{ij})_{(i,j)\in\{1,\ldots,N\}^2}$ [/mm] und [mm] $a_{ij} [/mm] = a$, korrekt?

> In [mm]\boldsymbol{C}[/mm] sind alle Einträge ungleich Null. Sind
> trotzdem Lösungen möglich? Falls ja, wie lassen sich diese einschränken?

Dann hängt der ganze Spaß von $ [mm] \boldsymbol{w} [/mm] $ ab.
Beispielsweise gilt für $ [mm] \boldsymbol{w} [/mm] = 0$ die Gleichung trivialerweise für jede Matrix [mm] $\boldsymbol{A}$. [/mm]
Also welche Einschränkungen gibt es an [mm] $\boldsymbol{w}$? [/mm]

Gruß,
Gono

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Matrixgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Do 16.02.2017
Autor: laupl

Hi,

> Aha, du meinst also [mm]\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{(i,j)\in\{1,\ldots,N\}^2}[/mm]
> und [mm]a_{ij} = a[/mm], korrekt?

ja, genau so.

Auch alle Einträge in [mm] $\boldsymbol{w}$ [/mm] sind ungleich Null. Als weitere Einschränkung können wir (zunächst) mal davon ausgehen, dass alle Einträge den Betrag 1 haben. Die Einträge sehen also so aus:
[mm] $w_n=e^{(-j\alpha_n)}$, [/mm]
mit der imaginären Einheit $j$ und der Phase [mm] $\alpha_n$. [/mm]

Ist damit jetzt was anzufangen?


Bezug
                                                        
Bezug
Matrixgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 So 19.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also ich hab jetzt ein bisschen rumgerechnet und komme zwar auf verschiedene Darstellungen, aber keine, die so wirklich konkret was zeigt.

Vom Bauchgefühl her würde ich sagen, dass es da durchaus mehrere Lösungen geben kann, insbesondere wenn die Gleichung nur für ein w gelten soll… sollte es für alle gelten, wäre das einfacher.

Rechnet man das beispielsweise mal für $N=2$ durch, erhält man bereits, dass für die linke Seite gilt:

[mm] $\frac{1}{a}\left(\overline{w_1}(c_{11}w_1 +c_{12}w_2) + \overline{w_2}(c_{21}w_1 +c_{22}w_2)\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{a}\left(c_{11} + c_{22} + 2Re(c_{12}\overline{w_1}w_2)\right)$ [/mm]

Die rechte Seite ergibt:

[mm] $\overline{w_1}(\frac{c_{11}}{a_{11}}w_1 +\frac{c_{12}}{a_{12}}w_2) [/mm] + [mm] \overline{w_2}(\frac{c_{21}}{a_{21}}w_1 +\frac{c_{22}}{a_{22}}w_2) =\frac{c_{11}}{a_{11}} [/mm] + [mm] \frac{c_{22}}{a_{22}} [/mm] + [mm] \frac{c_{12}}{a_{12}}\overline{w_1}w_2 [/mm] + [mm] \frac{c_{21}}{a_{21}}w_1\overline{w_2} [/mm] = [mm] \frac{c_{11}}{a_{11}} [/mm] + [mm] \frac{c_{22}}{a_{22}} [/mm] + [mm] 2Re(\frac{c_{12}}{a_{12}}\overline{w_1}w_2) [/mm] $

Setzt man nun beide Seiten gleich, erhält man durch den Vergleich von Real- und Imaginärteil beider Seiten 2 Gleichungen, hat aber mit [mm] $a_{11},a_{22}$ [/mm] und [mm] $a_{12}$ [/mm] drei wählbare Parameter… daher gibt es keine eindeutige Lösung.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Matrixgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Sa 18.03.2017
Autor: laupl

Hallo,
sorry, dass ich mich länger nicht mehr gemeldet habe.
Vielen Dank für deine Mühe! Deine Tipps und Nachfragen haben mir geholfen. Das Thema ist damit für mich (erstmal) erledigt.

Grüße

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