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Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Mo 21.04.2008
Autor: ooolisaooo

Ich habe eine Frage.
SChreibe gerade an meinem Spezialgebiet in Mathematik über Matrizen. Habe schon einige Sachen, wie addieren etc und inverse Matrix. Doch weiß ich nicht, wie man dabei vorgeht. Ich weiß dass ich die angegebene Matrix A zu einer Nullmatrix umformen muss. Doch gibt es dafür allgemeine Vorgehensweisen??

Lg

        
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Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Mo 21.04.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Ich denke deine Frage bezieht sich darauf wie man die inverse einer Matrix berechnet, oder?

Nun das mit der Nullmatrix ist nicht richtig.

Sagen wir du hast eine 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrix gegeben

[mm] \pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}} [/mm] und möchtest nun die inverse Matrix dazu berechnen.

Nun erstellen wir die erweiterte Matrix auf, also

[mm] \pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 1}. [/mm] Nun musst du durch elementare Zeilenumformungen (Gauß-Algorithmus) deine [mm] a_{ij} \forall\\i,j=1,2,3 [/mm] zur Einheitsmatrix umformen. Ich hoffe das ist einigermaßen verständlich rübergekommen :-)

[hut] Gruß



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Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Mo 21.04.2008
Autor: ooolisaooo

ich verändere also di gegebene matix zur addieren subtrahieren etc. so, dass ich die erweiterungsmatrix bekomme?

geht das immer?

danke!

lg

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Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mo 21.04.2008
Autor: Tyskie84

Hi

> ich verändere also di gegebene matix zur addieren
> subtrahieren etc. so, dass ich die erweiterungsmatrix
> bekomme?
>  

[kopfkratz] Ich hab mir schon fast gedacht dass ich mich nicht so verständlich ausgedrückt habe ;-)

Vielleicht wird es an diesem Beispiel deutlicher den Schachuzipus mal gemacht hat Hier ansonsten kannst du dich nochmal melden falls noch etwas unklar ist. Das wichtige ist, wenn du die erweiterte Matrix aufegstellt hast und durch den GaußAlgorithmus deine Matrix veränderst (also zur Einheitsmatrix umformst) verändert sich ja auch die nebenstehende Matrix parallel dazu.

> geht das immer?
>  
> danke!
>  
> lg


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Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Mo 21.04.2008
Autor: ooolisaooo

dabei gehe ich ähnlich wie beim eliminationsverfahren vor!?

ich muss also die angegebene matrix so umformen, dass ich eine einheitsmatrix erhalte; die ursprüngliche einheitsmatrix ist dann meine lösung!?

danke!!

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Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Mo 21.04.2008
Autor: Tyskie84

Hi

> dabei gehe ich ähnlich wie beim eliminationsverfahren
> vor!?
>  
> ich muss also die angegebene matrix so umformen, dass ich
> eine einheitsmatrix erhalte; die ursprüngliche
> einheitsmatrix ist dann meine lösung!?
>  

Ganz genau [daumenhoch]

> danke!!

[hut] Gruß


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Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Mo 21.04.2008
Autor: ooolisaooo

und gibt es da irgendwelche regeln; oder das jedes mal anders?
d.h. muss ich also jedesmal rechnen, das von dem abziehen, bis ich auf die einheitsmatrix komme??

lg

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Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Mo 21.04.2008
Autor: Tyskie84

Hi

ja immer rechenen, es gibt da eine Formel zur Berechnung der inversen einer 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrix die ich dir aber nicht empfehlen würde.

Dein Ergebnis kannst du auch kontrollieren denn es muss gelten [mm] A\cdot\\A^{-1}=E [/mm]

[hut] Gruß

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Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Mo 21.04.2008
Autor: ooolisaooo

okay gut. ich glaube soweit hab ich es verstanden. man muss einfach probieren und rechnen.

und jetzt noch eine frage, die sich vll etwas blöd anhört.

was ist eine inverse matrix eigentlich?
was sagt die aus?

Bezug
                                                                        
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Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Mo 21.04.2008
Autor: Maggons

Hallo!

Eine inverse Matrix "kann nie alleine sein".

Es gibt inverse Matrizen zu allen quadratischen Matrizen, also 3x3, 4x4 etc..

Wenn du eine Matrix mit ihrer inversen Matrix multiplizierst, erhälst du immer eine Einheitsmatrix.

Also eine Matrix der Form:

[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]

Bei inversen Matrizen gilt:

A * [mm] A^{-1}= A^{-1} [/mm] * A = E (E= Einheitsmatrix)


Verwendungszweck könnte ich dir nun spontan auch nur das Kodieren bzw. Dekodieren von Codes sagen; das interessiert dich aber wohl kaum.. :D

Lg

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Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Mo 21.04.2008
Autor: ooolisaooo

vielen lieben dank!!


muss ich jetzt wohl einige male üben.

wenn ich ein gleichungssystem gegeben habe, kann ich dann theoretisch die koeffizienten , die hinter x, y und z stehen in eine matrix schreibe, diese dann invertieren und die invertierte matrix mal der matrix rechnen, die sich ergibt, wenn ich die zahlen nach dem gleich in eine matrix schreibe, und dann müsste das ergebnis des gleichungssystems herauskommen!?

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Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Mo 21.04.2008
Autor: MathePower

Hallo   ooolisaooo,

> vielen lieben dank!!
>  
>
> muss ich jetzt wohl einige male üben.
>  
> wenn ich ein gleichungssystem gegeben habe, kann ich dann
> theoretisch die koeffizienten , die hinter x, y und z
> stehen in eine matrix schreibe, diese dann invertieren und
> die invertierte matrix mal der matrix rechnen, die sich
> ergibt, wenn ich die zahlen nach dem gleich in eine matrix
> schreibe, und dann müsste das ergebnis des
> gleichungssystems herauskommen!?

Ja, das funktioniert allerdings nur, wenn die Determinante
der Koeffizientenmatrix von Null verschieden ist.

Gruß
MathePower

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