Mengen in metr. Räumen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Sei (X, d) ein metrischer Raum und seien A, B [mm] \subset [/mm] X. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) [mm] \overline{A \cup B}=\overline{A}\cup\overline{B},
[/mm]
(b) [mm] \overline{A \cap B} [/mm] = [mm] \overline{A} \cap \overline{B}, [/mm]
(c) Int(A [mm] \cup [/mm] B) = Int(A) [mm] \cup [/mm] Int(B),
(d) Int(A [mm] \cap [/mm] B) = Int(A) [mm] \cap [/mm] Int(B) |
Ich muss folgende Aufgabe lösen, weiß aber leider nicht genau wie ich rangehen soll.
Zu a und b würde ich sagen, dass die Aussagen falsch sind. Aber wie beweise ich das? Kann ich mir ein Element aus der einen Menge nehmen und zeigen, dass es in der anderen Menge nicht enthalten ist?
Vielen Dank und viele Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Berieux |
Hallo.
> Sei (X, d) ein metrischer Raum und seien A, B [mm]\subset[/mm] X.
> Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
>
> (a) [mm]\overline{A \cup B}=\overline{A}\cup\overline{B},[/mm]
> (b)
> [mm]\overline{A \cap B}[/mm] = [mm]\overline{A} \cap \overline{B},[/mm]
> (c) Int(A [mm]\cup[/mm] B) = Int(A) [mm]\cup[/mm] Int(B),
> (d) Int(A [mm]\cap[/mm] B) = Int(A) [mm]\cap[/mm] Int(B)
> Ich muss folgende Aufgabe lösen, weiß aber leider nicht
> genau wie ich rangehen soll.
> Zu a und b würde ich sagen, dass die Aussagen falsch
> sind. Aber wie beweise ich das? Kann ich mir ein Element
> aus der einen Menge nehmen und zeigen, dass es in der
> anderen Menge nicht enthalten ist?
>
> Vielen Dank und viele Grüße.
Die Aussage a) ist richtig. Es ist leicht zu sehen, dass [mm]A\cup B \subset \overline{A}\cup\overline{B} \subset \overline{A\cup B}[/mm] gilt. Dann gilt aber schon [mm]\overline{A}\cup\overline{B} = \overline{A\cup B}[/mm] (Wieso?).
Zu b) kann man sich ein Gegenbeispiel mit Intervallen in [mm]\mathbb{R}[/mm] überlegen.
Viele Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Calculu |
Erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Ich verstehe aber leider schon nicht, wieso A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subset \overline{A}\cup\overline{B}. [/mm] Es gibt doch Elemente in A [mm] \cap [/mm] B die keine Teilmenge von [mm] \overline{A}\cup\overline{B} [/mm] sind. Oder sind A und B disjunkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:43 So 27.04.2014 | | Autor: | Berieux |
> Erstmal vielen Dank für deine Antwort.
> Ich verstehe aber leider schon nicht, wieso A [mm]\cup[/mm] B
> [mm]\subset \overline{A}\cup\overline{B}.[/mm]
Das ist offensichtlich so. Schau dir nochmal die Definition des Abschlusses einer Menge an.
>Es gibt doch Elemente
> in A [mm]\cap[/mm] B die keine Teilmenge von
> [mm]\overline{A}\cup\overline{B}[/mm] sind.
Nein, wie kommst du darauf?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 27.04.2014 | | Autor: | Calculu |
Ah, ok. Ich hatte einen bösen Denkfehler.
[mm] A\cup B\subset \overline{A}\cup\overline{B} \subset \overline{A\cup B} [/mm] kann ich nachvollziehen. Und die Gleicheit gilt, weil [mm] \overline{A\cup B} \subset \overline{A}\cup\overline{B} [/mm] gilt!?
Ok, nun zur b)
[mm] \overline{A \cap B}=\overline{A}\cap\overline{B} [/mm] Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel:
A:= (0,1)
B:= (1,2)
Dann ist [mm] \overline{A}=[0,1] [/mm] und [mm] \overline{B}=[1,2]
[/mm]
Also: [mm] \overline{A \cap B}= \emptyset \not= \overline{A}\cap\overline{B} [/mm] = 1
Passt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 So 27.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Ah, ok. Ich hatte einen bösen Denkfehler.
> [mm]A\cup B\subset \overline{A}\cup\overline{B} \subset \overline{A\cup B}[/mm]
> kann ich nachvollziehen. Und die Gleicheit gilt, weil
> [mm]\overline{A\cup B} \subset \overline{A}\cup\overline{B}[/mm]
> gilt!?
>
> Ok, nun zur b)
>
> [mm]\overline{A \cap B}=\overline{A}\cap\overline{B}[/mm] Die
> Aussage ist falsch. Gegenbeispiel:
>
> A:= (0,1)
> B:= (1,2)
> Dann ist [mm]\overline{A}=[0,1][/mm] und [mm]\overline{B}=[1,2][/mm]
> Also: [mm]\overline{A \cap B}= \emptyset \not= \overline{A}\cap\overline{B}[/mm]
> = 1
>
> Passt das so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 So 27.04.2014 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 27.04.2014 | | Autor: | Calculu |
Nun noch die Teile c und d:
c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel:
A:= [0,1] dann ist Int(A)= (0,1)
B:= [1,2] dann ist Int(B)= (1,2)
A [mm] \cup [/mm] B=[0,2] und somit Int(A [mm] \cup [/mm] B)=(0,2)
Also Int(A [mm] \cup [/mm] B)= (0,2) [mm] \not= (0,1)\cup(1,2) [/mm] = Int(A) [mm] \cup [/mm] Int(B)
d) Die Aussage stimmt.
Beweis:
Sei x [mm] \in [/mm] Int(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \Rightarrow B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \Rightarrow B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] A [mm] \cap B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Int(A) [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] Int(B)
Die Rückrichtung folgt analog und somit:
Int(A [mm] \cap [/mm] B) = Int(A) [mm] \cap [/mm] Int(B)
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mo 28.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Nun noch die Teile c und d:
>
> c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel:
> A:= [0,1] dann ist Int(A)= (0,1)
> B:= [1,2] dann ist Int(B)= (1,2)
> A [mm]\cup[/mm] B=[0,2] und somit Int(A [mm]\cup[/mm] B)=(0,2)
>
> Also Int(A [mm]\cup[/mm] B)= (0,2) [mm]\not= (0,1)\cup(1,2)[/mm] = Int(A)
> [mm]\cup[/mm] Int(B)
>
> d) Die Aussage stimmt.
> Beweis:
> Sei x [mm]\in[/mm] Int(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\Rightarrow B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm]
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\Rightarrow B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm] A [mm]\cap B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm]
> B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] Int(A) [mm]\cap[/mm] x [mm]\in[/mm] Int(B)
Es müsste
[mm] $(B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] B)$
sein.
Sonst
> Die Rückrichtung folgt analog und somit:
> Int(A [mm]\cap[/mm] B) = Int(A) [mm]\cap[/mm] Int(B)
>
> Stimmt das soweit?
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Di 29.04.2014 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank meili!
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