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Meromorphe Funktionen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Sa 21.10.2017
Autor: mathstu

Aufgabe
a) Zeige, dass [mm] $f(z)=\bruch{1}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{1}{z-k}+\bruch{1}{k})$ [/mm] eine meromorphe Funktion mit Polstellen erster Ordnung in den ganzen Zahlen darstellt.
b) Zeige, dass $f$ die Periode $1$ hat.

Guten Abend Matheraum-User!

Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe dabei ein paar Schwierigkeiten.
Zu a):
Dass $f$ eine Polstelle 1. Ordnung hat, bedeutet ja, dass [mm] $\limes_{z\rightarrow k}f(z)(z-k)$ [/mm] existiert und [mm] $\limes_{z\rightarrow k}f(z)$ [/mm] nicht existiert. Die zweite Aussage ist offensichtlich erfüllt. Wenn ich den Limes der ersten Aussage berechne, kriege ich aber immer das Resultat, dass der Limes nicht existiert:
[mm] $\limes_{z\rightarrow k}f(z)(z-k)=\limes_{z\rightarrow k}(\bruch{z-k}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{z-k}{z-k}+\bruch{z-k}{k}))$. [/mm]
Der erste Summand in der Reihe kürzt sich raus, aber dann bleibt noch $1$ übrig und somit divergiert die Reihe doch oder nicht?

Zu b):
Bei dieser Aufgabe dachte ich mir, man könnte $f(z+1)$ explizit hinschreiben und dann so umformen, dass das Resultat $f(z)$ ist. Allerdings klappt das nicht und ich wollte fragen ob vielleicht jemand eine Idee hat wie man die Periodizität sonst noch zeigen könnte.

VG, mathstu

        
Bezug
Meromorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 So 22.10.2017
Autor: HJKweseleit


> a) Zeige, dass
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{1}{z-k}+\bruch{1}{k})[/mm]
> eine meromorphe Funktion mit Polstellen erster Ordnung in
> den ganzen Zahlen darstellt.

>  b) Zeige, dass [mm]f[/mm] die Periode [mm]1[/mm] hat.
>  Guten Abend Matheraum-User!
>  
> Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe dabei ein paar
> Schwierigkeiten.
> Zu a):
>  Dass [mm]f[/mm] eine Polstelle 1. Ordnung hat, bedeutet ja, dass
> [mm]\limes_{z\rightarrow k}f(z)(z-k)[/mm] existiert und
> [mm]\limes_{z\rightarrow k}f(z)[/mm] nicht existiert. Die zweite
> Aussage ist offensichtlich erfüllt. Wenn ich den Limes der
> ersten Aussage berechne, kriege ich aber immer das
> Resultat, dass der Limes nicht existiert:
>  [mm]\limes_{z\rightarrow k}f(z)(z-k)=\limes_{z\rightarrow k}(\bruch{z-k}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{z-k}{z-k}+\bruch{z-k}{k}))[/mm].



Hier hast du etwas missverstanden.

Wenn wir die ersten Glieder mal hinschreiben, ergibt sich

[mm] (\bruch{z-1}{z-1}+\bruch{z-1}{1})+(\bruch{z-2}{z-2}+\bruch{z-2}{2})+(\bruch{z-3}{z-3}+\bruch{z-3}{3})+... [/mm]

>  
> Der erste Summand in der Reihe kürzt sich raus, aber dann
> bleibt noch [mm]1[/mm] übrig und somit divergiert die Reihe doch
> oder nicht?

Ja, aber gemeint ist etwas anderes. Wenn du zeigen sollst, dass für jede ganze Zahl eine Polstelle 1. Ordnung vorliegt, musst du diese ganze Zahl "auswählen und festhalten". Beispiel: Bei 2 liegt eine solche Polstelle vor. Dann sieht das so aus, wenn ich mal die Summanden für k=1, 2 und 3 hinschreibe:

[mm] (\bruch{z-2}{z-1}+\bruch{z-2}{1})+(\bruch{z-2}{z-2}+\bruch{z-2}{2})+(\bruch{z-2}{z-3}+\bruch{z-2}{3})+... [/mm]

Wenn nun z nach 2 geht, werden alle Summanden 0, bis auf [mm] \bruch{z-2}{z-2}\mapsto [/mm] 1

Tatsächlich muss es also heißen: Sei a eine beliebige ganze Zahl. Dann ist

[mm]\limes_{z\rightarrow a}f(z)(z-a)=\limes_{z\rightarrow a}(\bruch{z-a}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{z-a}{z-k}+\bruch{z-a}{k}))[/mm] = 1, da für alle [mm] k\ne [/mm] a die Zähler 0 und die Nenner [mm] \ne [/mm] 0 werden und für den Summanden k=a [mm] \limes_{z\rightarrow a}\bruch{z-a}{z-k}=\limes_{z\rightarrow a}\bruch{z-a}{z-a}=1 [/mm] wird.



>  
> Zu b):
>  Bei dieser Aufgabe dachte ich mir, man könnte [mm]f(z+1)[/mm]
> explizit hinschreiben und dann so umformen, dass das
> Resultat [mm]f(z)[/mm] ist. Allerdings klappt das nicht und ich
> wollte fragen ob vielleicht jemand eine Idee hat wie man
> die Periodizität sonst noch zeigen könnte.




Das ist ein bisschen knifflig. Da wir aber schon wissen, dass f(z)=f(z+1) sein soll, bilden wir am einfachsten f(z+1)-f(z) und zeigen, dass das 0 ergibt:

[mm]f(z+1)-f(z)=\bruch{1}{z+1}+\summe_{k\not=0}(\bruch{1}{z+1-k}+\bruch{1}{k})-\bruch{1}{z}-\summe_{k\not=0}(\bruch{1}{z-k}+\bruch{1}{k})[/mm] = [mm]\bruch{1}{z+1}-\bruch{1}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{1}{z+1-k}-\bruch{1}{z-k})[/mm] = ...

Für k=0 würde sich nun genau [mm]\bruch{1}{z+1}-\bruch{1}{z}[/mm] ergeben, also können wir weiter schreiben:

... = [mm]\summe_{k \in \IZ}(\bruch{1}{z+1-k}-\bruch{1}{z-k})[/mm] = [mm]\summe_{k \in \IZ}(\bruch{1}{z-(k-1)}-\bruch{1}{z-k})[/mm].

Das bedeutet: Wir addieren jeweils einen Ausdruck mit Index k, wobei aber jeder Wert im nächsten Schritt wieder abgezogen wird. Auszug für k = -2 bis 2:

[mm] ...+(\bruch{1}{z+3}-\bruch{1}{z+2} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{z+2)}-\bruch{1}{z+1}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{z+1}-\bruch{1}{z}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{z}-\bruch{1}{z-1})+ (\bruch{1}{z-1}-\bruch{1}{z-2})+... [/mm]

Wenn man nun umklammert, geben alle Klammern 0:

[mm] ...+\bruch{1}{z+3})+(-\bruch{1}{z+2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z+2})+(-\bruch{1}{z+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z+1})+(-\bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z})+(-\bruch{1}{z-1}+ \bruch{1}{z-1})+(-\bruch{1}{z-2}+... [/mm]
Nur der Anfangs- und der Endwert würden übrig bleiben, also [mm] \bruch{1}{z+k} [/mm] für k nach [mm] \infty [/mm] und für k nach [mm] -\infty. [/mm] Diese beiden Summanden haben aber ebenfalls den Wert 0. Also ist die ganze Summe =0, was wir beweisen wollten.

>  
> VG, mathstu


Bezug
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