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Messbarkeit und Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:40 Sa 04/11/2017
Author: TheBozz-mismo

Aufgabe
Sei B die [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] auf den reellen Zahlen und [mm] g:(\IR,B) [/mm] -> [mm] (\IR,B) [/mm] mit g(x)=|x|. Sei weiterhin f eine Funktion, die messbar ls Abb. von [mm] (\IR,B) [/mm] nach [mm] (\IR,B) [/mm] ist.
Beweisen sie, dass f genau dann symmtrisch zur y-Achse, wenn f als Abb. von [mm] (\IR,g^{-1}(B)) [/mm] nach [mm] (\IR,B) [/mm] messbar ist

Hallo zusammen.
Zu zeigen ist eine Äquivalenz.
Angenommen f(x)=f(-x). Ich muss ja zeigen, dass [mm] f^{-1}(A)=\{\omega \in\IR:f(\omega)\in A\} \in g^{-1}(B) [/mm] für alle [mm] A\in [/mm] B
Definiere f(x)=f(g(x))
Dann ist f(x)=f(g(x))=f(|x|)=f(-x).
Erscheint mir zu einfach, also muss ja zwangsläufig falsch sein.
Vielleicht muss ich noch zeigen, dass die verknüpfte Funktion messbar ist, sprich das [mm] (f\circ g)^{-1}(A) \in g^{-1}(B(\IR)) [/mm]
Nur, wie würde man da vorgehen?

Bei der anderen Richtugn muss man ja die Symmetrie zeigen.
Hatte irgendwo gelesen, dass man folgende Mengeninklusion zeigen soll:
[mm] g^{-1}(B)=\{A \cup (-A): A\in B\}=:M [/mm]
Wenn ich ein Element aus [mm] g^{-1}(B) [/mm] nehme, kann ich es aufgrund die [mm] \sigma-Algebra-Eigenschaft [/mm] als Vereinigung schreiben A [mm] \cup [/mm] (-A), was ja auch wieder drin liegen muss und (-A) liegt aufgrund der zweiten Eigenschaft auch drin. Und andersherum argumentiert man doch genauso, also die Vereinigung liegt in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] und A und (-1) liegen auch drin, insbesonders, da es sich hier um die [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] handelt.
Aus dieser Gleichheit folgt ja, dass f(x)=f(-x) gelten muss.

Vielen Dank für alle Antworten

Lieben Gruß

TheBozz-mismo

        
Bezug
Messbarkeit und Symmetrie: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:41 So 05/11/2017
Author: tobit09

Hallo TheBozz-mismo!


>  Zu zeigen ist eine Äquivalenz.

Genau.

>  Angenommen f(x)=f(-x). Ich muss ja zeigen, dass
> [mm]f^{-1}(A)=\{\omega \in\IR:f(\omega)\in A\} \in g^{-1}(B)[/mm]
> für alle [mm]A\in[/mm] B

Genau.

>  Definiere f(x)=f(g(x))
>  Dann ist f(x)=f(g(x))=f(|x|)=f(-x).

DEFINIERE f(x)=f(g(x)) ???

Es lässt sich $f(x)=f(g(x))$ für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] ZEIGEN (unter Verwendung von $f(x)=f(-x)$).

>  Erscheint mir zu einfach, also muss ja zwangsläufig
> falsch sein.
>  Vielleicht muss ich noch zeigen, dass die verknüpfte
> Funktion messbar ist, sprich das [mm](f\circ g)^{-1}(A) \in g^{-1}(B(\IR))[/mm]

Was zu zeigen ist, hast du doch oben schon korrekt überlegt???

> Nur, wie würde man da vorgehen?

Sei [mm] $A\in [/mm] B$.
Zu zeigen ist [mm] $f^{-1}(A)\in g^{-1}(B)$, [/mm] d.h. gesucht ist ein [mm] $C\in [/mm] B$ mit [mm] $f^{-1}(A)=g^{-1}(C)$. [/mm]

Wenn nun [mm] $f=f\circ [/mm] g$ gezeigt ist, kann man wie folgt weiter argumentieren:

Es gilt [mm] $f^{-1}(A)=(f\circ g)^{-1}(A)=g^{-1}(f^{-1}(A)))$. [/mm]

Das lässt vermuten, dass [mm] $C:=f^{-1}(A)$ [/mm] eine geeignete Wahl sein könnte...

Warum gilt bei dieser Wahl [mm] $C\in [/mm] B$?

Es folgt [mm] $f^{-1}(A)=g^{-1}(C)\in g^{-1}(B)$. [/mm]



> Bei der anderen Richtugn muss man ja die Symmetrie zeigen.

Ja.

>  Hatte irgendwo gelesen, dass man folgende Mengeninklusion
> zeigen soll:
>  [mm]g^{-1}(B)=\{A \cup (-A): A\in B\}=:M[/mm]

Diese Gleichheit stimmt zwar, aber ihr Nachweis erscheint mir deutlich aufwendiger als eine direktere Lösung der Aufgabe.

>  Wenn ich ein Element
> aus [mm]g^{-1}(B)[/mm] nehme, kann ich es aufgrund die
> [mm]\sigma-Algebra-Eigenschaft[/mm] als Vereinigung schreiben A [mm]\cup[/mm]
> (-A),

Warum das?
(Es fehlt eine schlüssige Begründung.)

> was ja auch wieder drin liegen muss und (-A) liegt
> aufgrund der zweiten Eigenschaft auch drin.

Was meinst du mit der "zweiten Eigenschaft"?

> Und andersherum
> argumentiert man doch genauso, also die Vereinigung liegt
> in der [mm]\sigma-Algebra[/mm] und A und (-1) liegen auch drin,

(Welche Sigma-Algebra meinst du hier?)

-1 ist bestimmt kein Element irgendeiner Sigma-Algebra, da -1 gar keine Menge ist.

Du hast bisher keine der beiden Inklusionen [mm] $g^{-1}(B)\subseteq [/mm] M$ und [mm] $g^{-1}(B)\supseteq [/mm] M$ bewiesen.

>  Aus dieser Gleichheit folgt ja, dass f(x)=f(-x) gelten
> muss.

Wie das?
Das müsstest du schon näher erläutern.
Insbesondere kann ich nicht erkennen, wie du die [mm] $g^{-1}(B)$-B-Messbarkeit [/mm] von f nutzt.



Genüge $f$ der [mm] $g^{-1}(B)$-B-Messbarkeit. [/mm]

Sei [mm] $x\in\IR$. [/mm]
Zu zeigen ist $f(-x)=f(x)$.

Betrachte nun speziell [mm] $A:=\{f(x)\}$. [/mm]
Als einelementige Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] ist $A$ ein Element von $B$.

Wegen der [mm] $g^{-1}(B)$-B-Messbarkeit [/mm] von $f$ gilt somit [mm] $f^{-1}(A)\in g^{-1}(B)$, [/mm] d.h. es existiert ein
Menge [mm] $C\in [/mm] B$ mit [mm] $f^{-1}(A)=g^{-1}(C)$. [/mm]

Wegen [mm] $f(x)\in [/mm] A$ gilt [mm] $x\in f^{-1}(A)=g^{-1}(C)$, [/mm] also [mm] $g(x)\in [/mm] C$.

Somit haben wir auch [mm] $g(-x)=|-x|=|x|=g(x)\in [/mm] C$.

Also [mm] $-x\in g^{-1}(C)=f^{-1}(A)$ [/mm] und somit [mm] $f(-x)\in A=\{f(x)\}$. [/mm]

Es folgt wie gewünscht $f(-x)=f(x)$.


Die entscheidende Idee war die Anwendung der [mm] $g^{-1}(B)$-B-Messbarkeit [/mm] von f speziell auf die Menge [mm] $A:=\{f(x)\}$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Messbarkeit und Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 20:53 Di 07/11/2017
Author: TheBozz-mismo

Hallo und vielen Dank für deine Antwort. Ich komme erst jetzt dazu, zu antworten. Sorry.
> Hallo TheBozz-mismo!
>  
>
> >  Zu zeigen ist eine Äquivalenz.

>  Genau.
>  
> >  Angenommen f(x)=f(-x). Ich muss ja zeigen, dass

> > [mm]f^{-1}(A)=\{\omega \in\IR:f(\omega)\in A\} \in g^{-1}(B)[/mm]
> > für alle [mm]A\in[/mm] B
>  Genau.
>  
> >  Definiere f(x)=f(g(x))

>  >  Dann ist f(x)=f(g(x))=f(|x|)=f(-x).
>  DEFINIERE f(x)=f(g(x)) ???
>  
> Es lässt sich [mm]f(x)=f(g(x))[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] ZEIGEN (unter
> Verwendung von [mm]f(x)=f(-x)[/mm]).

Ok. Also [mm] f(g(x))=f(\pm [/mm] x) und da f(x)=f(-x) gilt, folgt aus [mm] f(\pm [/mm] x)=f(x). Richtig soweit?

>  
> >  Erscheint mir zu einfach, also muss ja zwangsläufig

> > falsch sein.
>  >  Vielleicht muss ich noch zeigen, dass die verknüpfte
> > Funktion messbar ist, sprich das [mm](f\circ g)^{-1}(A) \in g^{-1}(B(\IR))[/mm]
>  
> Was zu zeigen ist, hast du doch oben schon korrekt
> überlegt???
>  
> > Nur, wie würde man da vorgehen?
>  Sei [mm]A\in B[/mm].
>  Zu zeigen ist [mm]f^{-1}(A)\in g^{-1}(B)[/mm], d.h.
> gesucht ist ein [mm]C\in B[/mm] mit [mm]f^{-1}(A)=g^{-1}(C)[/mm].
>  
> Wenn nun [mm]f=f\circ g[/mm] gezeigt ist, kann man wie folgt weiter
> argumentieren:
>  
> Es gilt [mm]f^{-1}(A)=(f\circ g)^{-1}(A)=g^{-1}(f^{-1}(A)))[/mm].
>  
> Das lässt vermuten, dass [mm]C:=f^{-1}(A)[/mm] eine geeignete Wahl
> sein könnte...
>  
> Warum gilt bei dieser Wahl [mm]C\in B[/mm]?

Weil f ja auf B messbar ist, also liegen die Urbilder wieder in B.

>  
> Es folgt [mm]f^{-1}(A)=g^{-1}(C)\in g^{-1}(B)[/mm].
>  

Damit wären wir wohl fertig.

>
>
> > Bei der anderen Richtugn muss man ja die Symmetrie zeigen.
>  Ja.
>  
> >  Hatte irgendwo gelesen, dass man folgende Mengeninklusion

> > zeigen soll:
>  >  [mm]g^{-1}(B)=\{A \cup (-A): A\in B\}=:M[/mm]
>  Diese Gleichheit
> stimmt zwar, aber ihr Nachweis erscheint mir deutlich
> aufwendiger als eine direktere Lösung der Aufgabe.
>  
> >  Wenn ich ein Element

> > aus [mm]g^{-1}(B)[/mm] nehme, kann ich es aufgrund die
> > [mm]\sigma-Algebra-Eigenschaft[/mm] als Vereinigung schreiben A [mm]\cup[/mm]
> > (-A),
>  Warum das?
>  (Es fehlt eine schlüssige Begründung.)
>  
> > was ja auch wieder drin liegen muss und (-A) liegt
> > aufgrund der zweiten Eigenschaft auch drin.
>  Was meinst du mit der "zweiten Eigenschaft"?
>  

Meinte die 2. Eigenschaft einer Sigma-Algebra, also dass wenn A in der Sigma-Algebra liegt, dann auch das Komplement, aber war irgendwie falsch gedacht.

> > Und andersherum
> > argumentiert man doch genauso, also die Vereinigung liegt
> > in der [mm]\sigma-Algebra[/mm] und A und (-1) liegen auch drin,
>  (Welche Sigma-Algebra meinst du hier?)
>  
> -1 ist bestimmt kein Element irgendeiner Sigma-Algebra, da
> -1 gar keine Menge ist.
>  
> Du hast bisher keine der beiden Inklusionen
> [mm]g^{-1}(B)\subseteq M[/mm] und [mm]g^{-1}(B)\supseteq M[/mm] bewiesen.
>  
> >  Aus dieser Gleichheit folgt ja, dass f(x)=f(-x) gelten

> > muss.
>  Wie das?
>  Das müsstest du schon näher erläutern.
>  Insbesondere kann ich nicht erkennen, wie du die
> [mm]g^{-1}(B)[/mm]-B-Messbarkeit von f nutzt.
>  
>

Ok. Wir haben als Tip bekommen, diese Gleichheit zu zeigen, jedoch kann ich deinen direkten Weg nachvollziehen.

>
> Genüge [mm]f[/mm] der [mm]g^{-1}(B)[/mm]-B-Messbarkeit.
>  
> Sei [mm]x\in\IR[/mm].
>  Zu zeigen ist [mm]f(-x)=f(x)[/mm].
>  
> Betrachte nun speziell [mm]A:=\{f(x)\}[/mm].
>  Als einelementige Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist [mm]A[/mm] ein Element von
> [mm]B[/mm].
>  
> Wegen der [mm]g^{-1}(B)[/mm]-B-Messbarkeit von [mm]f[/mm] gilt somit
> [mm]f^{-1}(A)\in g^{-1}(B)[/mm], d.h. es existiert ein
> Menge [mm]C\in B[/mm] mit [mm]f^{-1}(A)=g^{-1}(C)[/mm].
>  
> Wegen [mm]f(x)\in A[/mm] gilt [mm]x\in f^{-1}(A)=g^{-1}(C)[/mm], also [mm]g(x)\in C[/mm].
>  
> Somit haben wir auch [mm]g(-x)=|-x|=|x|=g(x)\in C[/mm].
>  
> Also [mm]-x\in g^{-1}(C)=f^{-1}(A)[/mm] und somit [mm]f(-x)\in A=\{f(x)\}[/mm].
>  
> Es folgt wie gewünscht [mm]f(-x)=f(x)[/mm].
>  
>
> Die entscheidende Idee war die Anwendung der
> [mm]g^{-1}(B)[/mm]-B-Messbarkeit von f speziell auf die Menge
> [mm]A:=\{f(x)\}[/mm].
>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias

Lieben Gruß

TheBozz-mismo

Bezug
                        
Bezug
Messbarkeit und Symmetrie: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 23:40 Di 07/11/2017
Author: tobit09


> > Es lässt sich $ f(x)=f(g(x)) $ für alle $ [mm] x\in\IR [/mm] $ ZEIGEN (unter
> > Verwendung von $ f(x)=f(-x) $).
>
> Ok. Also $ [mm] f(g(x))=f(\pm [/mm] $ x) und da f(x)=f(-x) gilt, folgt aus $ [mm] f(\pm [/mm] $ x)=f(x). Richtig soweit?

[ok] Dir scheint die Begründung klar zu sein.

Formulierungsvorschlag:
Es gilt $g(x)=x$ oder $g(x)=-x$.
Im ersten Fall haben wir direkt $f(g(x))=f(x)$, im zweiten Fall $f(g(x))=f(-x)=f(x)$.


> > Das lässt vermuten, dass [mm]C:=f^{-1}(A)[/mm] eine geeignete Wahl
> > sein könnte...
>  >  
> > Warum gilt bei dieser Wahl [mm]C\in B[/mm]?
>  
> Weil f ja auf B messbar ist, also liegen die Urbilder
> wieder in B.

[ok] Genau.


> > Es folgt [mm]f^{-1}(A)=g^{-1}(C)\in g^{-1}(B)[/mm].
>  >  
> Damit wären wir wohl fertig.

Ja.

Bezug
                                
Bezug
Messbarkeit und Symmetrie: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 08:21 Mi 08/11/2017
Author: TheBozz-mismo

Danke für die schnelle Antwort!
Lieben Gruß
TheBozz-mismo

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