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| Aufgabe | | Löse die Gleichung [mm] $xu_x+x(x+y)u_y=1$ [/mm] mit Anfangswert $u(1,y)=y$. Ist die Lösung überall definiert? |
Als charakteristische Gleichungen erhalte ich
[mm] $x_t=x$ [/mm] und [mm] $x_0(0,s)=1 \\
[/mm]
[mm] y_t=x+y$ [/mm] und [mm] $y_0(0,s)=s \\
[/mm]
[mm] u_t=1$ [/mm] und [mm] $u_0(0,s)=s \\$
[/mm]
woraus sich durch ergibt
[mm] $x=e^t$, [/mm] $u=t+s$ und für y erhalte ich [mm] $y=te^t$ [/mm] nur das Problem ist, dass die Anfangsbedingung [mm] $y(0,s)=s\neq 0=0e^0$ [/mm] nur für $s=0$ stimmt, aber die Jakobideterminante $x$ ergibt. Also muss nach dem Satz über Existenz und Eindeutigkeit eine Lösung für [mm] $x\neq [/mm] 0$ existieren und nicht nur für $s=0$.
Danke für jegliche Hilfe.
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Hallo hannahmaontana,
> Löse die Gleichung [mm]xu_x+x(x+y)u_y=1[/mm] mit Anfangswert
> [mm]u(1,y)=y[/mm]. Ist die Lösung überall definiert?
> Als charakteristische Gleichungen erhalte ich
> [mm]$x_t=x$[/mm] und [mm]$x_0(0,s)=1 \\[/mm]
> [mm]y_t=x+y[/mm] [mm]und[/mm][mm] y_0(0,s)=s \\[/mm]
>
Nach der gegebenen Gleichung muß doch
[mm]y_t=\blue{x}*\left(x+y\right)[/mm]
sein.
> [mm]u_t=1$[/mm] und [mm]$u_0(0,s)=s \\$[/mm]
>
> woraus sich durch ergibt
> [mm]x=e^t[/mm], [mm]u=t+s[/mm] und für y erhalte ich [mm]y=te^t[/mm] nur das Problem
> ist, dass die Anfangsbedingung [mm]y(0,s)=s\neq 0=0e^0[/mm] nur für
> [mm]s=0[/mm] stimmt, aber die Jakobideterminante [mm]x[/mm] ergibt. Also muss
> nach dem Satz über Existenz und Eindeutigkeit eine Lösung
> für [mm]x\neq 0[/mm] existieren und nicht nur für [mm]s=0[/mm].
Selbst wenn die charakteristischen Gleichungen stimmen,
stimmt die Lösung für y nicht.
> Danke für jegliche Hilfe.
Gruss
MathePower
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> Nach der gegebenen Gleichung muß doch
>
> [mm]y_t=\blue{x}*\left(x+y\right)[/mm]
>
> sein.
>
Sorry Tippfehler. Das x ist zuviel. Es muss
[mm] $xu_x+(x+y)u_y=1$
[/mm]
heissen.
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Hallo hannahmaontana,
> > Nach der gegebenen Gleichung muß doch
> >
> > [mm]y_t=\blue{x}*\left(x+y\right)[/mm]
> >
> > sein.
> >
>
> Sorry Tippfehler. Das x ist zuviel. Es muss
>
> [mm]xu_x+(x+y)u_y=1[/mm]
>
Ok.
Dann stimmt die Lösung für y nicht.
> heissen.
Gruss
MathePower
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> Dann stimmt die Lösung für y nicht.
>
Genau das ist auch mein Problem, welches ich nicht zu lösen weiss.
Ich habe soweit:
[mm] $x_t=x\Rightarrow x=e^t$ [/mm] die multiplikative Konstante ist wegen der Anfangsbedingung gleich eins.
[mm] $y_t=x+y=e^t+y$ [/mm] mit [mm] $y=te^t\Rightarrow y_t=te^t+e^t$ [/mm] (nach der Produktregel) ist die Gleichung erfüllt. Allerdings kann ich so nicht die Anfangsbedingung erfüllen.
Wo liegt mein Fehler? Wie kann ich y variieren, sodass es hinhaut?
Danke!
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Hallo hannahmaontana,
> > Dann stimmt die Lösung für y nicht.
> >
>
> Genau das ist auch mein Problem, welches ich nicht zu
> lösen weiss.
>
> Ich habe soweit:
>
> [mm]x_t=x\Rightarrow x=e^t[/mm] die multiplikative Konstante ist
> wegen der Anfangsbedingung gleich eins.
>
> [mm]y_t=x+y=e^t+y[/mm] mit [mm]y=te^t\Rightarrow y_t=te^t+e^t[/mm] (nach der
> Produktregel) ist die Gleichung erfüllt. Allerdings kann
> ich so nicht die Anfangsbedingung erfüllen.
>
Die Lösung der homogenen DGL für y ist
[mm]y_{h}=C*e^{t}[/mm]
Damit ergibt sich die Gesamtlösung der DGL
[mm]y_t=x+y=e^t+y[/mm]
zu
[mm]y=C*e^{t}+t*e^{t}[/mm]
> Wo liegt mein Fehler? Wie kann ich y variieren, sodass es
> hinhaut?
> Danke!
>
Gruss
MathePower
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> Die Lösung der homogenen DGL für y ist
>
> [mm]y_{h}=C*e^{t}[/mm]
>
> Damit ergibt sich die Gesamtlösung der DGL
>
> [mm]y_t=x+y=e^t+y[/mm]
>
> zu
>
> [mm]y=C*e^{t}+t*e^{t}[/mm]
>
>
Sorry, aber ich verstehe es noch immer nicht.
Das Problem ist doch, dass C=0 (aus der Anfangsbedingung für y), aber C=s (aus der Anfangsbedingung für x) sein muss.
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Hallo hannahmaontana,
> > Die Lösung der homogenen DGL für y ist
> >
> > [mm]y_{h}=C*e^{t}[/mm]
> >
> > Damit ergibt sich die Gesamtlösung der DGL
> >
> > [mm]y_t=x+y=e^t+y[/mm]
> >
> > zu
> >
> > [mm]y=C*e^{t}+t*e^{t}[/mm]
> >
> >
>
> Sorry, aber ich verstehe es noch immer nicht.
> Das Problem ist doch, dass C=0 (aus der Anfangsbedingung
> für y), aber C=s (aus der Anfangsbedingung für x) sein
> muss.
Das Problem ist doch zunächst die Lösung der DGL
[mm]y_{t}=x+y[/mm]
Gruss
MathePower
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