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Metrik Beweis/Gegenbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Mo 08.07.2013
Autor: Wimme

Hallo!

Ich würde gerne beweisen (oder widerlegen), dass folgende Funktion eine Metrik ist.

[mm]d(x,y) = \sqrt{\sum_{2\leq k \leq d-1, \mbox{k gerade}}^{n}{(x_k-y_k)^2 \cdot ((x_{k+1}/x_1 +y_{k+1}/y_1 ) \cdot 0.5)} }[/mm]

wobei x und y jeweils aus [mm] R^d [/mm] >= 0 kommen, und [mm]x_1 = max_{3 \leq i \leq d, \mbox{i ungerade}} x_i[/mm] (selbiges für [mm] y_i). [/mm]

Dabei bleibe ich an der Dreiecksungleichung hängen:
[mm]d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)[/mm]

Bisher habe ich kein Gegenbeispiel gefunden, bei einem Beweis komme ich aber auch nicht weiter.
Weiß jemand hier vielleicht, wie man das beweisen/widerlegen könnte?

Danke!

        
Bezug
Metrik Beweis/Gegenbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:05 Di 09.07.2013
Autor: leduart

Hallo
ich kann mit der ganzen Zeile

wobei x und y jeweils [mm] ausR^d [/mm]  >= 0 kommen, und $ [mm] x_1 [/mm] = [mm] max_{3 \leq i \leq d, \mbox{i ungerade}} x_i [/mm] $ (selbiges für [mm] y_i [/mm]
nichts anfangen, kannst du das genauer oder lesbarer schreiben.
z.B:  [mm] x_1 [/mm] ist doch die erste Komponente von x, wie kannst du es dann definieren?
Gruss leduart


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Metrik Beweis/Gegenbeweis: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:32 Di 09.07.2013
Autor: Wimme

Hallo leduart,

danke, dass du dir mein Problem ansiehst :)
Wenn ich das richtig sehe, wird eine Metrik ueber einer nicht leeren Menge [mm]\mathcal{X}[/mm] definiert. Wie ich [mm]\mathcal{X}[/mm] waehle, bleibt mir doch selbst ueberlassen. Ich denke daher, dass ich folgendes definieren kann:
[mm]\mathcal{X} = \{x | x \in \mathbb{R}_{\geq 0}^d, \mbox{d ist ungerade}, x_1 = max_{3\leq i \leq d, \mbox{i ist ungerade}} x_i\}[/mm]
Vektoren koennten also z.B. sein: x = (10 0.5 5 0.2 10), y = (5 0.2 5 0.25 3), z = (20 0.1 3 0.4 20)
und es waere z.B. d(x,y) = 0.2636

a = (10 -0.2 3 4 7) waere ungueltig, da [mm] a_2 [/mm] < 0 und b = (10 0.2 3 0.4 4) waere ungueltig da weil [mm] b_1 [/mm] nicht max(3,4) ist.


Meinetwegen koennen wir die Beschraenkung mit dem max auch weglassen, ich habe sie aber dazu geschrieben, weil sie fuer alle "zulaessigen" Vektoren gilt und ich dachte, vielleicht hilft das aus der Distanzfunktion eine Metrik zu machen :)



 

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Metrik Beweis/Gegenbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Di 09.07.2013
Autor: Marcel

Hallo Wimme,

> Hallo leduart,
>  
> danke, dass du dir mein Problem ansiehst :)
>  Wenn ich das richtig sehe, wird eine Metrik ueber einer
> nicht leeren Menge [mm]\mathcal{X}[/mm] definiert. Wie
> ich [mm]\mathcal{X}[/mm] waehle, bleibt mir doch selbst
> ueberlassen. Ich denke daher, dass ich folgendes definieren
> kann:
>  [mm]\mathcal{X} = \{x | x \in \mathbb{R}_{\geq 0}^d, \mbox{d ist ungerade}, x_1 = max_{3\leq i \leq d, \mbox{i ist ungerade}} x_i\}[/mm]

das ist schon okay, Leduart hat Dein [mm] $x_1=...$ [/mm] nicht als [mm] "$x_1$ [/mm] hat die Eigenschaft",
sondern als [mm] "$x_1$ [/mm] wird definiert..." gelesen, wobei Leduart dabei unklar war, wie
man für ein beleibiges $x [mm] \in \IR^d_{\ge 0}$ [/mm] nun [mm] $x_1$ [/mm] einfach
definieren können soll...

> Vektoren koennten also z.B. sein: x = (10 0.5 5 0.2 10), y
> = (5 0.2 5 0.25 3), z = (20 0.1 3 0.4 20)
>  und es waere z.B. d(x,y) = 0.2636
>  
> a = (10 -0.2 3 4 7) waere ungueltig, da [mm]a_2[/mm] < 0 und b = (10
> 0.2 3 0.4 4) waere ungueltig da weil [mm]b_1[/mm] nicht max(3,4)
> ist.

Das ist gut!

>
> Meinetwegen koennen wir die Beschraenkung mit dem max auch
> weglassen, ich habe sie aber dazu geschrieben, weil sie
> fuer alle "zulaessigen" Vektoren gilt und ich dachte,
> vielleicht hilft das aus der Distanzfunktion eine Metrik zu
> machen :)

Das Problem ist doch schon, dass da dennoch etwas undefiniertes stehen
kann:
Was ist mit [mm] $\red{x}:=(0,2,0,0,0,2,0)^T=\vektor{0\\2\\0\\0\\0\\2\\0}$? [/mm] Hier ist [mm] $\red{x} \in \mathcal{X}$ [/mm] und auch [mm] $x_1=0\,.$ [/mm] Mit

    $d(x,y) = [mm] \sqrt{\sum_{2\leq k \leq d-1, \mbox{k gerade}}^{n}{(x_k-y_k)^2 \cdot ((x_{k+1}/x_1 +y_{k+1}/y_1 ) \cdot 0.5)} }$ [/mm]

ist dann aber doch schon [mm] $d(\red{x},\red{x})$ [/mm] undefiniert...

P.S. Der Faktor [mm] $\sqrt{1/2}$ [/mm] sollte keine Rolle bei der Dreiecksungleichung spielen.

Grund: Sei [mm] $d_1$ [/mm] reellwertig und definiert auf $X [mm] \times X\,.$ [/mm] Sei $a > 0$ und [mm] $d_a:=a*d_1\,.$ [/mm] Dann gilt:
[mm] $d_1 \colon [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$ [/mm] ist genau dann eine Metrik auf [mm] $X\,,$ [/mm] wenn [mm] $d_a$ [/mm] dies ist.

Beweis: [mm] $d_1(X \times [/mm] X) [mm] \subseteq [0,\infty) \iff d_a(X \times [/mm] X) [mm] \subseteq [0,\infty)\,.$ [/mm] Ferner gilt [mm] $d_1(x,y)=0 \iff d_a(x,y)=ad_1(x,y)=0\,.$ [/mm]

Bzgl. der Symmetrie ist das genauso trivial:

    [mm] $d_1(x,y)=d_1(y,x) \iff ad_1(x,y)=ad_1(y,x) \iff d_a(x,y)=d_a(y,x)$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in X\,.$ [/mm]

Zur Dreiecksungleichung: Hier gilt folgende Äquivalenz

    [mm] $d_1(x,z) \le d_1(x,y)+d_1(y,z) \iff ad_1(x,z) \le a(d_1(x,y)+d_1(y,z))=ad_1(x,y)+ad_1(y,z) \iff d_a(x,z) \le d_a(x,y)+d_a(y,z)$ [/mm] für alle $x,y,z [mm] \in X\,.$ [/mm]

Fazit: Der Faktor [mm] $\sqrt{1/2} [/mm] > 0$ spielt bei den ganzen "Untersuchungen auf Metrik" (oben)
keine Rolle!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
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Metrik Beweis/Gegenbeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 Di 09.07.2013
Autor: Wimme

Hallo Marcel,

danke fuer deine Antwort.
Stimmt, fuer [mm] x_1 [/mm] waere meine Funktion undefiniert. Also muss man wohl auch noch [mm] x_1>0 [/mm] fordern.

Dein Beweis gilt jedoch nur, wenn a fix ist. Sobald a irgendwie von einem Vektor abhaengt, gilt das nicht mehr.
Damit ist meine Distanzfunktion keine Metrik, ein Gegenbeispiel ist naemlich auch zB
x =    9    10     9     4     7
y =    10     1    10     7     2
z =    5     4     0     2     5

Bezug
                                        
Bezug
Metrik Beweis/Gegenbeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:53 Mi 10.07.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  
> danke fuer deine Antwort.
>  Stimmt, fuer [mm]x_1[/mm] waere meine Funktion undefiniert. Also
> muss man wohl auch noch [mm]x_1>0[/mm] fordern.
>  
> Dein Beweis gilt jedoch nur, wenn a fix ist.

da steht ja auch: Sei $a > [mm] 0\,.$ [/mm] Und nicht, dass [mm] $a=a(x)\,$ [/mm] 'oder was auch immer'
gelten soll. Daher ist dieser Kommentar für Dich, zum Verständnis, sicherlich
hilfreich und auch bei anderen dahingehend hilfreich. Aber eigentlich ist er
unnötig. Insbesondere, weil auch im Beispiel [mm] $1/\sqrt{2}$ [/mm] eine feste Zahl $> [mm] 0\,$ [/mm] ist!

> Sobald a
> irgendwie von einem Vektor abhaengt, gilt das nicht mehr.

Wie gesagt: Die Feststellung ist korrekt, bedürfte aber eigentlich keines
Kommentares. Ebenso, wie, wenn jemand sagt:
Wenn es für alle [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] ein [mm] $x\,$ [/mm] gibt, dann heißt das noch lange nicht, dass
es auch für alle [mm] $x\,$ [/mm] ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt.

Denn:

    [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x$ bedeutet, dass [mm] $x=x(\epsilon)$ [/mm] sein darf, d.h. dass [mm] $x\,$ [/mm] in Abhängigkeit zu [mm] $\epsilon$ [/mm]
    stehen darf

und

    [mm] $\exists \epsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x$ bedeutet, dass das [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ nicht in Abhängigkeit zu [mm] $\epsilon$ [/mm] stehen darf (es
    muss "universell" sein).

Entsprechend kann man dann sagen, dass man bei Aussagen, wo man

    [mm] $\exists \epsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x$

voraussetzt, diese Voraussetzung nicht o.W. einfach zu

    [mm] $\forall [/mm] x [mm] \exists \epsilon [/mm] > 0$

umschreiben darf. Das ist richtig, aber da wird Dir jeder Autor sagen:
"Na und? Das habe ich ja auch nirgends geschrieben oder behauptet!"

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Metrik Beweis/Gegenbeweis: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Sa 13.07.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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