Minimale Fläche Parabel < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Skyfox |
Hallo!
Ich habe folgendes Problem:
Es ist eine Parabel gegeben, die nach unten geöffnet einen minimalen Flächeninhalt einschließen soll mit der Abzisse und dabei gleichzeitig durch den Punkt P(1|1) gehen soll.
Leichter gesagt als getan, zumindest momentan.
Ich hatte gedacht, dass es genügt, das Integral der vorläufigen Parabelfunktionsgleichung [mm] f(x)=4ax^2+b [/mm] [b=1-a nach einsetzen von P(1|1) ] über die unbestimmten Nullstellen zu bestimmen und zu prüfen, ob es sich hierbei um ein Minimum handelt. Leider führt dies zu keinem verwertbaren Ergebnis.
Ist jemand so nett und hat einen Ansatz für mich, damit ich erfolgreich weiterrechnen kann?
Vielen Dank für eure Mühen!
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mo 19.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du deine durch (1,1) gehende Parabel von Nullstelle zu Nullstelle integrierst bekommst du doch eine Formel für die Fläche, die von a abhängt. also F(a). wie findet man das Max einer Funktion, also von F(a)?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Skyfox |
| Aufgabe | [mm] f(x)=ax^2+b
[/mm]
Einsetzen von P ergibt:
1=a+b -> b=1-a
Einsetzen von b in f(x)
[mm] f(x)=ax^2+1-a
[/mm]
Nullstellen von f(x)
x1=-root(1-1/a) v [mm] x^2=+root(1-1/a)
[/mm]
Hier fangen die EInschränkungen an. a=/ 1 und a=/ 0
Integral:
[mm] F(x)=(a/3)x^3+x-ax
[/mm]
Einsetzen der Grenzen liefert:
Integral= [mm] [(a/3(-root(1-1/a))^3+(-root(1-1/a))-a(-root(1-1/a))]
[/mm]
[mm] -[a/3(root(1-1/a))^3+(root(1-1/a))-a(root(1-1/a))] [/mm] |
Ich habe das Gefühl, dass dieses Integral mich nicht zur Lösung führt. Oder wo liegt mein Fehler? Das wäre super hilfreich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Di 20.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Skyfox,
es ist mir echt zu mühsam, Deiner Notation zu folgen. Wenn Du aus einem anderen Programm oder Forum kopierst (über Letzteres hätten wir hier gern gemäß Forenregeln eine Mitteilung), dann must Du noch ein paar Dinge änden, z.B. "root" in "wurzel" oder "sqrt". Benutze doch einfach den Formeleditor. Es gibt davon zwei Versionen, aber beide funktionieren ganz gut. Folge einfach den Beispielen/Vorlagen unter dem Eingabefenster, oder wenn Du Betatests erlaubt hast (Profil), dann schreib bitte auf, welche Probleme es in der Darstellung gibt.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Di 20.11.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Skyfox,
> [mm]f(x)=ax^2+b[/mm]
> Einsetzen von P ergibt:
> 1=a+b -> b=1-a
>
> Einsetzen von b in f(x)
> [mm]f(x)=ax^2+1-a[/mm]
>
> Nullstellen von f(x)
>
> x1=-root(1-1/a) v [mm]x^2=+root(1-1/a)[/mm]
>
> Hier fangen die EInschränkungen an. a=/ 1 und a=/ 0
was spricht denn gegen [mm]a=1[/mm]?
> Integral:
>
> [mm]F(x)=(a/3)x^3+x-ax[/mm]
>
> Einsetzen der Grenzen liefert:
>
> Integral=
> [mm]\left[\blue{\left(\frac a 3\left(-\sqrt{1-\frac 1a}\right)^3}+\green{\left(-\sqrt{1-\frac 1a}\right)}-\green{a\left(-\sqrt{1-\frac 1a}\right)}\right][/mm]
>
> [mm]-\left[\blue{\left(\frac a 3\left(\sqrt{1-\frac 1a}\right)^3}+\green{\left(\sqrt{1-\frac 1a}\right)}-\green{a\left(\sqrt{1-\frac 1a}\right)}\right][/mm]
Bis hierhin ist doch alles tutti (ich hab's aber mal etwas hübscher aufgeschrieben). Fasse als nächstes die gleichfarbigen Terme zusammen. Was da steht ich nichts anderes als [mm][n(-x)^3 + (-x) - m(-x)] - [nx^3+x-mx][/mm], wobei ich für den Wurzelterm x und für die Koeffizienten n und m geschrieben habe. Beachte [mm] $(-x)^3=-x^3$ [/mm] und du bist schon ein ganzes Stück weiter.
Ich habe übrigens in meiner Rechnung die Nullstellen in der Form [mm]w_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{a^2-a}}{a}[/mm] eingesetzt. Das erleichtert dir das Zusammenfassen.
> Ich habe das Gefühl, dass dieses Integral mich nicht zur
> Lösung führt. Oder wo liegt mein Fehler? Das wäre super
> hilfreich.
Doch, doch. Es ist zwar ein bisschen mühsam (und ich muss zugeben, dass ich mir von einem CAS habe helfen lassen), aber so kommst du ans Ziel. Jetzt erstmal zusammenfassen, dann nach a ableiten und gleich Null setzen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Di 20.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
es vereinfacht sich wenn du von 0 an integrierst, da F/2 dasselbe Min hat wie F.
2. klammer [mm] \wurzel{(1-a)/a} [/mm] aus, dann wird der Ausdruck einfacher
Gruss leduart
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Hallo Skyfox, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Diese Aufgabe ist nicht lösbar. Man kann für jeden beliebig kleinen (positiven) Flächeninhalt eine Funktionsgleichung angeben, nur nicht für den Flächeninhalt Null.
> Ich habe folgendes Problem:
>
> Es ist eine Parabel gegeben, die nach unten geöffnet einen
> minimalen Flächeninhalt einschließen soll mit der Abzisse
> und dabei gleichzeitig durch den Punkt P(1|1) gehen soll.
Gib bitte die vollständige Aufgabenstellung an. Diese hier ist Schwachsinn.
> Leichter gesagt als getan, zumindest momentan.
>
> Ich hatte gedacht, dass es genügt, das Integral der
> vorläufigen Parabelfunktionsgleichung [mm]f(x)=4ax^2+b[/mm]
Das ist nicht allgemein genug! Welche Parabeln [mm] f(x)=ax^2+bx+c [/mm] gehen denn durch $(1|1)$?
> [b=1-a nach einsetzen von P(1|1) ] über die unbestimmten
> Nullstellen zu bestimmen und zu prüfen, ob es sich hierbei
> um ein Minimum handelt. Leider führt dies zu keinem
> verwertbaren Ergebnis.
>
> Ist jemand so nett und hat einen Ansatz für mich, damit
> ich erfolgreich weiterrechnen kann?
Also: erst allgemeine Parabel durch $(1|1)$ bestimmen, dann Minimum bestimmen. Das ist aber leider, wie gesagt, nicht möglich.
Das heißt, Du musst zeigen, dass es nicht möglich ist.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Skyfox |
Vielen Dank erst einmal für die Stellungnahme.
"Welche nach unten geöffnete achsensymmetrische Parabel, die durch den Punkt P(1|1) verläuft, umschließt mit der Abzisse eine minimale Fläche."
Die Achsensymmetrie hatte ich unterschlagen. Sollte aber durch den Ausdruck [mm] f(x)=ax^2+b [/mm] Ausdruck finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Di 20.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> "Welche nach unten geöffnete achsensymmetrische Parabel,
> die durch den Punkt P(1|1) verläuft, umschließt mit der
> Abzisse eine minimale Fläche."
>
> Die Achsensymmetrie hatte ich unterschlagen. Sollte aber
> durch den Ausdruck [mm]f(x)=ax^2+b[/mm] Ausdruck finden.
Viel besser!
lg
rev
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