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Minimaler Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Sa 17.06.2017
Autor: DerPinguinagent

Moin Leute,

ich will den minimalen Abstand zwischen der Fubktion [mm] f(x)=x^{2}+1 [/mm] und dessen Umkehrfunktion f(x)=sqrt(x-1) bestimmen.
Die Hauptbedingung müsste demzufolge [mm] d=y_{P}-y_{Q} [/mm] sein.

Jetzt muss ich eine Nebennedingung finden die man für y einsetzen kann, sodass ich die beiden von ein änder abziehen kann und ableiten kann.

Die Nebenbedingubg muss eine Gerade aber nur wie die Aussehen soll weiß ich nicht.

LG Rocky19942

        
Bezug
Minimaler Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Sa 17.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> ich will den minimalen Abstand zwischen der Fubktion
> [mm]f(x)=x^{2}+1[/mm] und dessen Umkehrfunktion f(x)=sqrt(x-1)
> bestimmen.
> Die Hauptbedingung müsste demzufolge [mm]d=y_{P}-y_{Q}[/mm] sein.

Das verstehe ich nicht. Der Abstand zwischen zwei Kurven wird immer noch so definiert bzw. gemessen, dass die Verbindungsstrecke zwischen den beiden 'Messpunkten' auf den beiden Tangenten in diesen Punkten orthogonal steht und diese Tangenten damit insbesondere parallel sind.

> Jetzt muss ich eine Nebennedingung finden die man für y
> einsetzen kann, sodass ich die beiden von ein änder
> abziehen kann und ableiten kann.

Aus der obigen Forderung ergibt sich ein Zusammenhang zwischen den Abszissen zweier Punkte auf beiden Graphen, den man als Nebenbedingung bezeichnen könnte.

Als Hauptbedingung könntest du dann den Abstand zwischen diesen beiden Punkten oder noch besser das Quadrat des Abstands minimieren.

In diesem speziellen Fall geht alles viel, viel einfacher. Bei umkehrbaren Funktionen vom Typ f: [mm] \IR\to\IR [/mm] liegen die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion im Koordinatensystem so, dass sie an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt sind. Also minimierst du einfach den Abstand zwischen der Funktion [mm] f(x)=x^2+1 [/mm] und der Geraden y=x und multiplizierst diesen minimalen Abstand noch mit 2.

Es juckt mich hier wieder schwer, etwas über die Unsinnigkeit von Automatismen in der Mathematik zu schreiben, aber ich lasse es dann doch mal weg. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Minimaler Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Sa 17.06.2017
Autor: HJKweseleit


> Moin Leute,
>  
> ich will den minimalen Abstand zwischen der Fubktion
> [mm]f(x)=x^{2}+1[/mm] und dessen Umkehrfunktion f(x)=sqrt(x-1)
> bestimmen.

Das Problem ist nicht eindeutig: Sollst du für jeweils gleiche x-Werte den minimalen Abstand der dazugehörigen y-Werte bestimmen, oder den minimalen Abstand zwischen den Graphen der beiden Funktionen?

Beispiel: f(x)= = 0,75 x, g(x)= 0,75 x + 25.

Beim gleichen x-Wert ist der (y-)Unterschied immer 25. Gehst du aber von P(12|9) auf dem Graphen von f senkrecht zum Graphen nach Q(0|25) auf dem Graphen von g, so ist der Abstand nach Pythagoras nur 20.

> Die Hauptbedingung müsste demzufolge [mm]d=y_{P}-y_{Q}[/mm] sein.
>  
> Jetzt muss ich eine Nebennedingung finden die man für y
> einsetzen kann, sodass ich die beiden von ein änder
> abziehen kann und ableiten kann.
>
> Die Nebenbedingubg muss eine Gerade aber nur wie die
> Aussehen soll weiß ich nicht.
>  
> LG Rocky19942


Falls die o.a. erste Lösung gesucht ist, bildest du die Funktion f - g (g = Umkehrfunktion) und leitest diese nach x ab, um das Minimum zu suchen.

Falls das zweite gesucht ist:

Der Graph von g (Umkehrfunktion) ist eine Spiegelung des Graphen von f an der Achse y=x. Entweder schneidet der Graph von f diese Achse, dann tut es auch g an derselben Stelle, und der Abstand ist 0, oder die Achse wird nicht geschnitten. Für diesen Fall gilt:

Die kürzeste Verbindung zwischen beiden Graphen ist eine Strecke zwischen zwei Spiegelpartnern P und P'.

Beweis (klingt kompliziert, ist es aber nicht, wenn du dir das aufmalst):
Nehmen wir an, das wäre nicht so. Dann würde die kürzeste Strecke zwischen den optimalen Punkten P und Q nicht senkrecht auf der Spiegelachse y=x stehen. Nehman wir an, die Teilstrecke a von P nach Q bis zum Schnittpunkt S mit der Achse ist kürzer oder gleichlang wie der Rest von S zu Q. Von P ausgehend würdest du die Achse nicht senkrecht treffen. Gehst du nun aber senkrecht von P zur L auf der Achse, ist diese Strecke kürzer als a. Auf der anderen Seite hast du nun den Spiegelpunkt P' von P, der von L ebenfalls den Abstand kleiner als a hat. Also ist PP' < 2a und PQ [mm] \ge [/mm] 2a und damit nicht minimal.

Somit: Die beiden Punkte P und P' mit dem kürzesten Abstand sind Spiegelpunkte bezüglich der Achse y=x. Ist der Abstand voneinander 2b und damit minimal, so ist der Abstand von P zur Spiegelachse gleich b mit ebenfalls minimalem b. Somit muss nur der Punkt P gefunden werden, der den kürzesten Abstand zur Spiegelachse hat.

Wir ziehen nun durch P eine Parallele zur Spiegelachse an den Graphen, also mit der Steigung 1. Da der Abstand zur Spiegelachse minimal ist, kann der Graph nur auf der der Spiegelachse abgewandten Seite der Parallelen liegen, muss diese aber in P berühren. Also ist die Parallele die Tangente an den Graphen!

Kurzum: Leite f ab und setze die Ableitung =1. Löse die Gleichung. Du bekommst den Punkt P. Vertausche die Koordinaten, und du erhältst P'. Berechne nun den Abstand PP'.

(Zur Kontrolle: P(0,5|1,25), Abstand = [mm] 0,75*\wurzel{2}) [/mm]


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