Neigwinkel Fünfeckige Pyramide < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Di 10.04.2012 | | Autor: | r2d2 |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem Ikosaeder. Dieser besteht aus Pyramiden mit einem gleichmäßigen Fünfeck als Grundfläche und gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen.
Ich würde mir gerne den Neigungswinkel einer Seitenfläche einer solchen Pyramide bzw. den Winkel unter der Spitze berechnen.
Da ich diesen Wert zur Visualisierung benötige, würde mir bereits eine Formel genügen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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Man kann ein reguläres Ikosaeder so in ein Koordinatensystem legen, daß seine zwölf Eckpunkte bis auf einen konstanten Faktor die Koordinaten
[mm]\left( \pm \left( 1 + \sqrt{5} \right) \, , \, \pm 2 \, , \, 0 \right) , \ \ \left( \pm 2 \, , \, 0 \, , \, \pm \left( 1 + \sqrt{5} \right) \right) , \ \ \left( 0 \, , \, \pm \left( 1 + \sqrt{5} \right) \, , \, \pm 2 \right)[/mm]
besitzen (alle Vorzeichenkombinationen sind zulässig).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich weiß jetzt nicht genau, was du mit dem "Neigungswinkel einer Seitenfläche" meinst. Bei Winkelmessungen sind ja immer zwei Partner im Spiel, du nennst aber nur einen. Wenn du den Neigungswinkel [mm]\varphi[/mm] zweier aneinander grenzender Seitendreiecke meinst, dann kannst du den folgendermaßen berechnen: Betrachte die Seitendreiecke [mm]ABC[/mm] und [mm]ABC'[/mm] der Figur und den Mittelpunkt [mm]M[/mm] der Strecke [mm]AB[/mm]. Es gilt dann
[mm]\tan \frac{\varphi}{2} = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5}-1} \ \ \Rightarrow \ \ \varphi \approx 138{,}2^{\circ}[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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