Newton-Verfahren < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Fr 02.03.2012 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Die Nullstellen folgender Funktionen sollen durch das Newton-Verfahren approximiert werden:
x²+2y²-4=0
2x²+5y²-9=0 |
Hallo an alle,
ich habe bereits eine Lösung für die obige Aufgabe, verstehe eines allerdings nicht.
Zur Berechnung der Newton-Verfahrens benötigt man ja folgende Gleichungen:
i) [mm] J(x_{k},y_{k})(\Delta x_{k}, \Delta y_{k})^{T}=-(f(x_{k},y_{k}), g(x_{k},y_{k}))^{T}
[/mm]
ii) [mm] (x_{k+1},y_{k+1})=(x_{k},y_{k})+(\Delta x_{k}, \Delta y_{k})
[/mm]
Der erste Schritt sieht dann wie folgt aus:
[mm] \pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 10 }(\Delta x_{k}, \Delta y_{k})^{T}=\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Was ich daran nicht verstehe ist, wie [mm] -(f(x_{k},y_{k}), g(x_{k},y_{k}))^{T} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] zustande kommt.
Könnte mir das bitte jemand erläutern?
Vielen Dank!!!
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Hallo paula_88,
> Die Nullstellen folgender Funktionen sollen durch das
> Newton-Verfahren approximiert werden:
> x²+2y²-4=0
> 2x²+5y²-9=0
> Hallo an alle,
> ich habe bereits eine Lösung für die obige Aufgabe,
> verstehe eines allerdings nicht.
>
> Zur Berechnung der Newton-Verfahrens benötigt man ja
> folgende Gleichungen:
> i) [mm]J(x_{k},y_{k})(\Delta x_{k}, \Delta y_{k})^{T}=-(f(x_{k},y_{k}), g(x_{k},y_{k}))^{T}[/mm]
>
> ii) [mm](x_{k+1},y_{k+1})=(x_{k},y_{k})+(\Delta x_{k}, \Delta y_{k})[/mm]
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> Der erste Schritt sieht dann wie folgt aus:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 10 }(\Delta x_{k}, \Delta y_{k})^{T}=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
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> Was ich daran nicht verstehe ist, wie [mm]-(f(x_{k},y_{k}), g(x_{k},y_{k}))^{T}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] zustande kommt.
> Könnte mir das bitte jemand erläutern?
>
Die Idee, die dahintersteckt ist, die obige linke Seite Gleichung zu linearisieren.
Sei dazu [mm]F\left(x,y\right)=\pmat{x^{2}+y^{2}-4 \\ 2x^{2}+5*y^{2}-9}[/mm]
Linearisiert man jetzt diese Funktion, so ergibt sich:
[mm]F\left(x,y\right)=F\left(x_{0},y_{0}\right)+F_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)[/mm]
Um die Nullstellen zu ermitteln, wird [mm]F\left(x,x\right)=\vec{0}[/mm] gesetzt.
Daraus entsteht dann das Gleichungssystem
[mm]\vec{0}=F\left(x_{0},y_{0}\right)+F_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)[/mm]
oder in Matrixschreibweise:
[mm]\vec{0}=F\left(x_{0},y_{0}\right)+\pmat{F_{x}\left(x_{0},y_{0}\right) & F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)}*\pmat{x-x_{0} \\ y-y_{0}}[/mm]
Daraus ergibt sich das in ii) genannte Gleichungssystem.
> Vielen Dank!!!
>
Gruss
MathePower
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