Normäquivalenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Höre gerade die Funktionalanalysis und habe eine Frage aus pers. Interesse, keine Hausaufgabe/Übungsaufgabe:
Wie kann man zeigen, dass in endlich dimensionalen Vektorräumen zwei beliebige Normen ||.|| und |||.||| äquivalent sind, d.h. dass es a,b reell gibt, so dass:
[mm] \math{a \cdot ||x|| \le |||x||| \le b * ||x||}.
[/mm]
Bis jetzt haben wir immer in Analysis 1&2 von Normäquivalenz in R oder [mm] R^2 [/mm] geredet, es aber nie bewiesen.
Suche jetzt schon ne Stunde in google auf englisch oder deutsch, nix gefunden.
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich beschränke mich mal auf den Fall [mm] $V=\IR^n$, [/mm] der Rest ist eine triviale Verallgemeinerung.
Es genügt natürlich zu zeigen, dass alle Normen [mm] $\Vert \cdot \Vert$ [/mm] des [mm] $\IR^n$ [/mm] zur [mm] $L_1$-Norm [/mm] äquivalent sind. Zunächst zeige ich, dass alle Normen des [mm] $\IR^n$ [/mm] stetig bezüglich [mm] $\Vert \cdot \Vert_1$ [/mm] sind:
Für [mm] $x=(x_1,\ldots,x_n)^T \in \IR^n$ [/mm] gilt aber:
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] = [mm] \left\Vert \sum\limits_{i=1}^n x_i \, e_i \right\Vert \le \sum\limits_{i=1}^n |x_i| \cdot \Vert e_i \Vert \le \underbrace{\left( \max\limits_{1 \le i \le n} \Vert e_i \Vert \right)}_{=: M < \infty} \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_1$.
[/mm]
Nun gilt für alle [mm] $x_0 \in \IR^n$:
[/mm]
[mm] $\vert \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] - [mm] \Vert x_0 \Vert \vert \le \Vert x-x_0 \Vert \le [/mm] M [mm] \cdot \Vert [/mm] x - [mm] x_0 \Vert_1$,
[/mm]
woraus sogar die Lipschitz-Stetigkeit von [mm] $\Vert \cdot \Vert$ [/mm] bezüglich [mm] $\Vert \cdot \Vert_1$ [/mm] folgt.
Man kann leicht einsehen (Analysis I/II), dass die Einheitssphäre
[mm] $S_1:=\{ x \in \IR^n\, : \, \Vert x \Vert_1=1\}$
[/mm]
bezüglich der [mm] $L_1$-Norm [/mm] beschränkt und abgeschlossen ist. (Kannst du ja zur Übung mal machen.) Daher nimmt [mm] $\Vert \cdot \Vert$ [/mm] als stetige Funktion ihr Minimum und Maximum auf der [mm] $S_1$ [/mm] an. Es gibt also positive reelle Zahen $c$ und $C$ mit
$c [mm] \le \Vert [/mm] x [mm] \Vert \le [/mm] C$
für alle $x [mm] \in S_1$.
[/mm]
Ist nun $x [mm] \in \IR^n$, [/mm] $x [mm] \ne [/mm] 0$, beliebig gewählt, so gilt: [mm] $\frac{x}{\Vert x \Vert_1} \in S_1$, [/mm] und daher:
$c [mm] \le \left\Vert \frac{x}{\Vert x \Vert_1} \right\Vert \le [/mm] C$,
also:
$c [mm] \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_1 \le \Vert [/mm] x [mm] \Vert \le [/mm] C [mm] \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_1$.
[/mm]
(Für $x=0$ ist diese Ungleichungskette offensichtlich erfüllt.)
Daraus folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Do 12.01.2006 | | Autor: | lisa80 |
Hallo!
Mir ist nicht klar, warum die Verallgemeinerung für beliebige endlich dimensionale Vektorräume trivial sein soll. Ich weiß, dass endlich dimensionale Vektorräume gleicher Dimension topologisch isomorph sind, also wäre V top. isom. zu [mm] R^n [/mm] mit n=dim(V). Weiter komme ich leider nicht... Kannst du mir helfen?
Viele Grüße Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Lisa!
Es sei $V$ ein beliebiger endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $(v_1,\ldots,v_n)$ eine Basis von $V$ sowie $\Vert \cdot \Vert_1$ und $\Vert \cdot \Vert_2$ zwei Normen auf $V$.
Dann werden durch
$\left\Vert \pmat{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n} \right\Vert':= \left\Vert \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i \right \Vert_1$
und
$\left\Vert \pmat{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n} \right\Vert'':= \left\Vert \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i \right \Vert_2$
zwei Normen auf dem $\IR^n$ definiert.
Aus der Äquivalenz dieser Normen ergibt sich unmittelbar die Äquivalent der Normen $\Vert \cdot \Vert_1$ und $\Vert \cdot \Vert_2$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:01 Fr 13.01.2006 | | Autor: | lisa80 |
Hallo Stefan!!
Erstmal herzlichen Dank! Das war ja eigentlich wirklich einfach...
Ich habe mich irgendwie verzettelt, weil in meinem Skript die Normäquivalenz zweier endl. Räume ein Kollorar aufgrund der topologischen Isomorphie von [mm] R^n [/mm] und V ist (n=dim(V)). Von diesem Punkt aus gesehen (Ex. einer linearen und stetigen Bijektion bzgl. zweier beliebiger Normen auf V und [mm] R^n) [/mm] versteh ich die Folgerung nicht..
Kannst du mir nochmal auf die Sprünge helfen?
Lieben Gruß
Lisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:05 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lisa!
Die Aussage, dass im [mm] $\IR^n$ [/mm] alle Normen äquivalent sind, bedeutet ja, dass ich bei jedem Ball bezüglich einer Norm zwei Bälle bezüglich der anderen Norm finden kann, die innerhalb des ersten Balls liegen bzw. ihn umfassen.
Durch die topologische Äquivalenz von [mm] $\IR^n$ [/mm] und $V$ gibt es dann jeweils solche Bälle auch bezüglich beliebiger Normen auf $V$.
Letztendlich ist es aber, wenn man es sauber macht, das Gleiche wie mein erstes Argument.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort, jetzt ist es mir klar geworden. Nun kann ich mich weiter durch mein Vorlesungsskript arbeiten.
Liebe Grüße,
Andreas
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Hab's nochmal durchgelesen, für die, die's noch brauchen:
Die Einheitssphäre ist:
$ [mm] S_1:=\{x \, : \, x \in \IR^n\, : \, \Vert x \Vert_1=1\} [/mm] $ , da hat sich in der Antwort von Stefan ein Fehler eingeschlichen.
Liebe Grüße,
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:44 Di 26.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Danke, ja, das war aber offenbar ein Tippfehler.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | | Sei [mm] \IK [/mm] gleich [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC. [/mm] Zeigen Sie, daß jede Norm [mm] \parallel.\parallel [/mm] auf [mm] \IK^{n} [/mm] äquivalent zur euklidischen Norm [mm] \parallel.\parallel_{E} [/mm] ist. |
Hallo,
wenn ich richtig verstanden habe, dann ist der obige Beweis für
die Aussage : alle Normen auf [mm] \IR^{n} [/mm] sind äquivalent zueinander.
D.h. , die von mir gepostete Aufgabe/Aussage ist ein Spezialfall der obigen Aussage.
Man könnte also mit dem obigen Beweis die von mir postete Aufgabe für [mm] \IK=\IR [/mm] zeigen.
Wie argumentiert man aber für [mm] \IK=\IC [/mm] ?
Gibt es vielleicht einen anderen/einfacheren Weg meine Aufgabe zu lösen;
also anstatt den Beweis allgemeiner Aussage zu benutzen, konkret
die äquivalenz zwischen allen Normen und der euklidischen Norm zu zeigen?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Igor,
> Sei [mm]\IK[/mm] gleich [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC.[/mm] Zeigen Sie, daß jede Norm
> [mm]\parallel.\parallel[/mm] auf [mm]\IK^{n}[/mm] äquivalent zur
> euklidischen Norm [mm]\parallel.\parallel_{E}[/mm] ist.
> Hallo,
>
> wenn ich richtig verstanden habe, dann ist der obige Beweis
> für
> die Aussage : alle Normen auf [mm]\IR^{n}[/mm] sind äquivalent
> zueinander.
> D.h. , die von mir gepostete Aufgabe/Aussage ist ein
> Spezialfall der obigen Aussage.
> Man könnte also mit dem obigen Beweis die von mir postete
> Aufgabe für [mm]\IK=\IR[/mm] zeigen.
> Wie argumentiert man aber für [mm]\IK=\IC[/mm] ?
schau' einfach mal in den Beweis rein, ob da etwas schiefgeht, wenn man an irgendeiner Stelle [mm] $\IR^n$ [/mm] durch [mm] $\IC^n$ [/mm] ersetzt:
Die (Lipschitz-)Stetigkeit aller Normen auf dem [mm] $\IC^n$ [/mm] sollte man genauso zeigen können (auch für den [mm] $\IC^n$, [/mm] als [mm] $\blue{\IC}-$[blue]Vektorraum[/blue], [/mm] ist [mm] $\{e_i:\;i=1,\ldots,n\}$ [/mm] eine Basis), und auch die Abschätzung für [mm] $\|x\|$ [/mm] sieht genauso aus, mit dem kleinen Unterschied, dass für $x [mm] \in \IC^n$ [/mm] hier der Betrag $|.|$ für den Betrag einer komplexen Zahl [mm] $x_i$, [/mm] also
[mm] $$|x_i|=\sqrt{\text{Re}^2(x_i)+\text{Im}^2(x_i)},$$
[/mm]
steht.
Auch die Beschränktheit und Abgeschlossenheit von [mm] $S_1$, [/mm] hier als Einheitsphäre des [mm] $\IC^n$, [/mm] bzgl. der [mm] $L_1$-Norm [/mm] kann man sicher genauso einsehen. Auch hier sind die Normen Abbildungen nach [mm] $\IR$ [/mm] (genauer: sogar nach [mm] $[0,\infty)$), [/mm] welche, wie vorher gesehen, stetig sind. Auch hier ist [mm] $S_1$ [/mm] bzgl. der [mm] $L_1$-Norm [/mm] eine beschränkte, abgeschlossene Teilmenge des [mm] $\IC^n$, [/mm] so dass eine jede Norm (wegen der Stetigkeit) auf [mm] $S_1$ [/mm] Ihr Maximum und Minimum annimmt (genaugenommen müsste man also eigentlich sagen, dass wir die Norm auf [mm] $S_1$ [/mm] eingeschränkt betrachten).
Auch der Rest geht vollkommen analog.
Sofern ich nichts übersehen habe, geht hier also wirklich alles vollkommen analog.
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Sei [mm]\IK[/mm] gleich [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC.[/mm] Zeigen Sie, daß jede Norm
> [mm]\parallel.\parallel[/mm] auf [mm]\IK^{n}[/mm] äquivalent zur
> euklidischen Norm [mm]\parallel.\parallel_{E}[/mm] ist.
ergänzend:
Schau Dir dazu gerne auch mal ![[]](/images/popup.gif) hier, (Beweis zu) Satz 4.13 an.
Beste Grüße,
Marcel
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Huhu^^
ich weiß dass dieser Diskussionsstrang ein paar Jährchen her ist aber eine Frage hätte ich diesbezüglich:
> Ich beschränke mich mal auf den Fall [mm]V=\IR^n[/mm], der Rest ist
> eine triviale Verallgemeinerung.
>
> Es genügt natürlich zu zeigen, dass alle Normen [mm]\Vert \cdot \Vert[/mm]
> des [mm]\IR^n[/mm] zur [mm]L_1[/mm]-Norm äquivalent sind.
Das scheint hier trivial zu sein aber wieso genügt dies? (also Äquivalenz zur [mm] L_1 [/mm] Norm zuzeigen? )
Lg, ;)
Eve
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Die [mm] l_1- [/mm] Norm bez. ich mit [mm] ||*||_1
[/mm]
Weiter seien zwei Normen [mm] ||*||_a [/mm] und [mm] ||*||_b [/mm] auf dem [mm] \IR^n [/mm] gegeben.
Nach Vor gibt es positive Zahlen [mm] t_1,t_2,t_3 [/mm] und [mm] t_4 [/mm] mit:
[mm] t_1||*||_a \le ||*||_1 \le t_2||*||_a
[/mm]
und
[mm] t_3||*||_b \le ||*||_1 \le t_4||*||_b
[/mm]
Dann folgt:
[mm] t_1||*||_a \le ||*||_1 \le t_4||*||_b, [/mm]
also: [mm] \bruch{t_1}{t_4}||*||_a \le ||*||_b
[/mm]
zeige Du nun, dass
[mm] ||*||_b \le \bruch{t_2}{t_3}||*||_a
[/mm]
gilt.
Wir haben also:
[mm] \bruch{t_1}{t_4}||*||_a \le ||*||_b \le \bruch{t_2}{t_3}||*||_a
[/mm]
FRED
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