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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:37 Di 20.05.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Man beweise, dass der zyklische Endomorphismus, definiert durch die Matrix
0 1
0 1
. . . 1
1 0
normal ist, und diagonalisiere ihn. |
Ich hätte folgenden Ansatz:
Da die Matrix A reelle Einträge hat, folgt, dass [mm] \overline{A}^t [/mm] = [mm] A^t.
[/mm]
Also genügt zu zeigen, dass [mm] AA^t [/mm] = [mm] A^{t}A [/mm] ist.
Ist dies bis dahin korrekt?
Wie kann ich nun weiterfahren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Di 20.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
du meinst bestimmt die Matrix
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 & & & & & \\ 0 & 0 & 1 & & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & 0 & \ddots & \\ 0 & 0 & 0 & & & 1\\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0}
[/mm]
Versuche dich doch einfach mal am Formeleditor. 
Du hast Recht, eine Matrix [mm] A\in\IR^{n\times{n}} [/mm] (oder [mm] \IC^{n\times{n}}) [/mm] ist normal [mm] \gdw \overline{A}^T*A=A*\overline{A}^T.
[/mm]
Da [mm] A\in\IR^{n\times{n}} [/mm] ist [mm] \overline{A}^T=A^T.
[/mm]
> Ist dies bis dahin korrekt?
Jepp.
> Wie kann ich nun weiterfahren?
Was meinst du damit? Wie du die Matrix diagonalisieren sollst? Mit der Jordannormalform.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Di 20.05.2008 | | Autor: | johnny11 |
jo, wie kann ich nun weiterfahren um zu zeigen, dass die Matrix normal ist?
Und um zu diagonalisieren muss ich also zuerst die Eigenwerte und die Eigenvektoren bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Di 20.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Und um zu diagonalisieren muss ich also zuerst die
> Eigenwerte und die Eigenvektoren bestimmen?
Ja.
> jo, wie kann ich nun weiterfahren um zu zeigen, dass die
> Matrix normal ist?
A hast du. Wie sieht [mm] A^T [/mm] aus? - Also Matrix mal transponieren!
Dann berechne [mm] A*A^T [/mm] und [mm] A^T*A [/mm] und zeige, dass [mm] A*A^T=A^T*A [/mm] gilt.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Di 20.05.2008 | | Autor: | johnny11 |
also wenn ich die Eigenwerte berechnen will, kommt nur -1 heraus.
Und der Eigenvektor zu diesem Eigenwert ist 0. Und 0 ist ja aber kein Eigenvektor. Wie erhält man denn die Eigenwerte und Eigenvektoren?
Ich habe das char. Polynome berechnet und auf diese Weise den Eigenwert erhalten.
Muss ich denn anders vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Mi 21.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
du meintest doch die Matrix
$ [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & & & & & \\ 0 & 0 & 1 & & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & 0 & \ddots & \\ 0 & 0 & 0 & & & 1\\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0} [/mm] $ ?
Ich würde das charakteristische Polynom einmal in Abhängigkeit von n berechnen - dann siehst du, dass für gerade n EWe 1,-1 sind und für ungerade n ist EW 1. Zumindest sagt mir das der PC
[mm] p(\lambda)=det(A-E_n*\lambda)=0 [/mm] ( [mm] E_n [/mm] ist Einheitsmatrix) ist demnach zu lösen.b
Ein schöner Link zu Jordannormalform, der auch hier im Forum (zurecht) sehr gerne genannt wird, ist ![[]](/images/popup.gif) dieser.
Hier mit Eiegenwerten und -vektoren zu arbeiten, dürfte doch etwas zu schwer sein. Ich habe mal versucht, die Jordannnormalform für n=3 und n=4 zu berechnen. Dabei ist mir aufgefallen, dass auch komplexe Eigenwerte existieren, die nicht gerade schön sind. Die Seite hat es mir dann auch bestätigt. Das scheint also kein vernünftiger Weg, diese Matrix auf Diagonalgestalt zu bringen. Eine Alternative fällt mir momentan nicht ein.
MfG barsch
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>
> du meintest doch die Matrix
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & & & & & \\ 0 & 0 & 1 & & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & 0 & \ddots & \\ 0 & 0 & 0 & & & 1\\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0}[/mm]
> ?
Ja ich meine diese Matrix.
Als Eigenvektor habe ich dann z.B. v= (1, 1, [mm] 1)^t [/mm] erhalten.
Aber ich sehe einfach nicht, wie ich diese Matrix diagonalisieren kann.
Normalerweise kann man dies ja mit den Eigenvektoren machen. Aber in diesem Fall hier...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 23.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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