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Forum "mathematische Statistik" - Normalvert. ZV - W'keit
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Normalvert. ZV - W'keit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:33 Mi 12.04.2017
Autor: ChopSuey

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Seien $ X_1, ..., X_n$ unabhängige $ N(4,9)$-verteilte Zufallsvariablen. Sei $ \overline{X}_n = \frac{1}{n}\left(X_1+...+X_n)$

Man berechne

$ P (\vert \overline{X}_{100} - 4 \vert \ge 0.6)$

Hallo,

kann mir jemand einen kurzen Tipp geben wie ich die Wahrscheinlichkeit mit der Zufallsvariable im Betrag errechnen kann? Ich finde dazu leider nichts in meinen Unterlagen, das mir weiterhilft.

Gerne darf es auch ein Link zu Wikipedia oder einem Skript sein. Ich les' mir das gerne an. Ich habe ein wenig hin und her probiert aber weiß wirklich nicht, welchen Ansatz ich wählen muss.

Freue mich über jeden Hinweis.

LG,
ChopSuey

        
Bezug
Normalvert. ZV - W'keit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:37 Mi 12.04.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

jetzt ist es mir eingefallen. Ich hab den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. Ohje

Danke trotzdem! :-)

LG,
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Normalvert. ZV - W'keit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:00 Do 13.04.2017
Autor: luis52


>  
> Danke trotzdem! :-)


Moin, solche Fragen sind die schoensten. [kuss]

Bezug
                        
Bezug
Normalvert. ZV - W'keit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Do 13.04.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Luis!

>  
> >  

> > Danke trotzdem! :-)
>  
>
> Moin, solche Fragen sind die schoensten. [kuss]

tatsächlich war das dann doch garnicht soo trivial wie es im ersten Moment nach meiner ersten Lösungsidee den Anschein für mich hatte. Aber nachdem ich mir nochmal genauer die standardisierte ZV über $ [mm] \overline{X}_{100}$ [/mm] angesehen und den Betrag probehalber aufgelöst habe, war die Aufgabe mit dem zentralen Grenzwertsatz  zum Glück schnell gelöst.

Hab gestern echt keinen Ansatz gefunden. Danke für's reinschauen [prost]

Liebe Grüße,
ChopSuey


Bezug
                                
Bezug
Normalvert. ZV - W'keit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Do 13.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wieso brauchst du dafür den ZGW? Du kannst den Ausdruck doch einfach direkt berechnen?

Gruß,
Gono

Bezug
                                        
Bezug
Normalvert. ZV - W'keit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Fr 14.04.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Gono,

> Hiho,
>  
> wieso brauchst du dafür den ZGW? Du kannst den Ausdruck
> doch einfach direkt berechnen?

Ich hab's folgendermaßen gemacht:

$ [mm] P(\vert\overline{X}_{100} [/mm] - 4 [mm] \vert \ge [/mm] 0.6) $

Wegen $ [mm] X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$ [/mm] ist $ [mm] \overline{X}_{100} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ [/mm]

also insbesondere

$ [mm] X_i \sim [/mm] N(4, 9) [mm] \Rightarrow \overline{X}_{100} \sim [/mm]  N(4, 0.09)$

Bildet man damit die standardisierte ZV $ Z = [mm] \frac{\overline{X}_{(n)}-\mu}{\sigma} [/mm] = [mm] \frac{\overline{X}_{100}-4}{0.3}$ [/mm]

gilt wegen

$ [mm] P(\vert\overline{X}_{100} [/mm] - 4 [mm] \vert \ge [/mm] 0.6) = [mm] P(\frac{\vert\overline{X}_{100} - 4\vert}{\vert 0.3 \vert} \ge [/mm] 2) = [mm] P(\vert [/mm] Z [mm] \vert \ge [/mm] 2) = P(Z < -2) + P(Z > 2) = [mm] 2(1-\phi(2))$ [/mm]

hmm jetzt seh ich gerade, dass ich garnicht wirklich explizit gebrauch vom ZGW gemacht habe. Dachte ich hätte den zwischendurch irgendwo verwendet.

Gibt es denn einen alternativen Weg die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen? Freue mich über jeden Hinweis.

>  
> Gruß,
>  Gono

Danke für die Rückmeldung!

LG,
ChopSuey


Bezug
                                                
Bezug
Normalvert. ZV - W'keit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 So 16.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]P(\vert\overline{X}_{100} - 4 \vert \ge 0.6) = P(\frac{\vert\overline{X}_{100} - 4\vert}{\vert 0.3 \vert} \ge 2) = P(\vert Z \vert \ge 2) = P(Z < -2) + P(Z > 2) = 2(1-\phi(2))[/mm]

[ok]
Das ist exakt der Weg, den ich im Sinn hatte…

> hmm jetzt seh ich gerade, dass ich garnicht wirklich explizit gebrauch vom ZGW gemacht habe.

Du hast den auch implizit nirgends verwendet, ergo gar nicht.
Wie gesagt: Er ist hier auch gar nicht nötig.

> Gibt es denn einen alternativen Weg die Wahrscheinlichkeit
> zu bestimmen? Freue mich über jeden Hinweis.

Es gibt sicher beliebig viele Wege die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen… man kann es ja beliebig verkomplizieren ^^
Aber: Dein Weg ist der direkteste und damit wohl geeignetste…

Gruß,
Gono  


Bezug
                                                        
Bezug
Normalvert. ZV - W'keit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:34 So 16.04.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Gono,

vielen Dank! [ok]

LG,
ChopSuey

Bezug
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