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Nullhypothese, Konfidenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:09 Mo 12.02.2018
Autor: statistik1234

Aufgabe
Keine Aufgabenstellungen, lediglich Verständnisfragen meinerseits Es geht

Guten Tag liebes Team,

Ich wundere mich, ob mein Verständnis bezüglich der Statistik bzw. gewisser Dinge davon sattelfest sind oder nicht. Sind folgende Gedanken richtig oder falsch?  

1. Der Begriff Nullhypothese bezeichnet eine geratene Kurve, mit der man dann seine Stichprobe abgleicht. Erster Fehler wäre, dass weil man bei den Daten nur hat, die richtig geschätzte Kurve als falsch betrachtet wird, und der zweite Fehler wäre, dass man die geratene Kurve fälschlicherweise als richtig betrachtet.  

Kann man das Ganze so sehen oder eher nicht?

2. Es gibt ja viele verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen, und welche man benutzt, weiss man erst im Nachhinein beziehungsweise man benutzt die welche am besten passt (also bei der die Abweichungen am geringsten sind). Man kann also nicht sofort an Hand nur von Daten auf eine Verteilung schliessen?

3. Entspricht der Erwartungswert immer dem Mittelwert? Es scheint Zwiespältigkeit bei Wikipedia zu geben hinsichtlich dessen.

4. Was ist der Unterschied zwischen einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion? Ich komm leider nicht auf einen grünen Zweig...

Die Fragen sind aus reinem Interesse und nicht Übungen und ich würde mich sehr über eine Erklärung freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Gruss
statistiknoob

        
Bezug
Nullhypothese, Konfidenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Mo 12.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Sind folgende Gedanken richtig oder falsch?

>

> 1. Der Begriff Nullhypothese bezeichnet eine geratene
> Kurve, mit der man dann seine Stichprobe abgleicht. Erster
> Fehler wäre, dass weil man bei den Daten nur hat, die
> richtig geschätzte Kurve als falsch betrachtet wird, und
> der zweite Fehler wäre, dass man die geratene Kurve
> fälschlicherweise als richtig betrachtet.

Hm, was das mit den Kurven soll, weiß ich nicht. Eine Hypothese ist eine Hypothese ist eine Hypothese. Zu deutsch: eine Annahme.

Man hat also eine (ausgewertete) Stichprobe vorliegen und hat eine bestimmte Annahme, welche Rückschlüsse sich daraus ziehen lassen.
Beim Ziehen solcher Rückschlüsse möchte man gerne einschätzen, wie groß das Risiko ist, sich zu irren und gibt dieses Risiko i.d.R. in Form der sog. Irrtumswahrscheinlichkeit vor. Das ist so im groben der Hintegrund hinter diesen ganzen Hypothesentests.

In aller Regel wählt man die Nullhypothese so, dass das Ziel des Tests ist, sie zu widerlegen.

Wenn man diese Nullhypothese fälschlicherweise verwirft (obwohl sie zutrifft), dann begeht man einen Fehler 1. Art. Bestätigt ein Test jedoch fälschlicherweise die Nullhypothese, obwohl die Alternativhypothese wahr ist, so spricht man von einem Fehler 2. Art (aber das hast du ja schon richtig erfasst).

> 2. Es gibt ja viele verschiedene
> Wahrscheinlichkeitsverteilungen, und welche man benutzt,
> weiss man erst im Nachhinein beziehungsweise man benutzt
> die welche am besten passt (also bei der die Abweichungen
> am geringsten sind). Man kann also nicht sofort an Hand nur
> von Daten auf eine Verteilung schliessen?

In der Regel ergibt sich die Art der Verteilung eher aus irgendeiner Sachlogik heraus. So würde beispielsweise beim Erfassen der Lebensdauer von Bauteilen die Normalverteilung keinen Sinn ergeben, sondern man würde hier ganz natürlich (aus dem Zusammenhang heraus) auf die Exponentialverteilung kommen.

Es gibt aber auch Tests, die das Ziel haben, eine Stichprobe auf eine bestimmte Verteilung hin zu testen.

> 3. Entspricht der Erwartungswert immer dem Mittelwert? Es
> scheint Zwiespältigkeit bei Wikipedia zu geben
> hinsichtlich dessen.

Der Erwartungswert (einer Stichprobe) ist eine mögliche Art der Mittelwertbildung. Eine andere Möglichkeit wäre etwa der Median. Und noch eine andere wäre das arithmetische Mittel, falls du das gemeint hast. Bei Stichproben dient das arithmetische Mittel als sog. Schätzer für den zu ermittelnden Erwartungswert.

> 4. Was ist der Unterschied zwischen einer
> Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und einer
> Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw.
> Wahrscheinlichkeitsfunktion?

Unter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung versteht man im Prinzip den gesamten Wertevorrat einer Zufallsvariablen samt der diesen Werten zugeordneten Wahrscheinlichkeiten. Man sagt dazu auch kurz und knapp Wahrscheinlichkeitsmaß (und in Wirklichkeit ist wie so oft alles viel komplizierter, aber ich habe dein Anliegen dahingehend verstanden, dass du nach Veranchaulichungen der Begriffe suchst).

Wahrscheinlichkeitsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion liegen von ihrer Bedeutung her recht nah beieinander. Ich kenne es so, dass man von einer Wahrscheinlichkeitsfunktion nur im Fall einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung spricht. Dann ordnet die Wahrscheinlichkeitsfunktion jedem Wert der Zufallsvariablen eine Wahrscheinlichkeit P(X=k) zu. Durch Aufsummieren aller Wahrscheinlichkeiten bis zu diesem Wert entsteht dann die eigentliche Verteilungsfunktion

[mm]F(x)= \sum_{i\le k}P(X=i)=P(X\le {k}) [/mm]

Im Fall von stetigen Verteilungen ist jedoch die Wahrscheinlichkeit P(X=k) stets gleich Null. Eine entsprechende Funktion existiert bei stetigen Verteilungen jedoch ebenfalls, sie heißt dort Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Die Verteilunsfunktion

[mm]F(x)=\int_{-\infty}^k{f(x) dx}=P(X\le{k})[/mm]

entsteht aus der Dichtefunktion f(x) dann durch Integration, was ja nichts anderes ist als eine Summenbildung über einer kontinuierlichen Menge.

Das alles erhebt nicht den Anspruch auf Vollständigkeit, aber ich denke, dass man solche Fragen im Rahmen eines Forums nicht wirklich wird klären können, sondern man kann nur ein wenig die Richtung weisen. Ein wirkliches Verständnis der Begriffe braucht - wie überall in der Mathematik - ein gründliches Studium der Materie und dazu entsprechend geeignete Lektüre.


Gruß, Diophant

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