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Forum "Funktionalanalysis" - Operatornorm
Operatornorm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Operatornorm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Do 31.03.2016
Autor: moerni

Hallo,

Gegeben sei ein Hilbertraum V und ein Teilraum [mm] V^R \subset [/mm] V. Es seien [mm] u_1, u_2 \in [/mm] V. Es sei [mm] P^R [/mm] die orthogonale Projektion auf [mm] V^R [/mm] und I die Identität auf V. Dann gilt scheinbar:

|| [mm] (I-P^R) (u_1 [/mm] - [mm] u_2)||_V \leq ||u_1 [/mm] - [mm] u_2||_V [/mm]

Warum?
Ich würde so rechnen:


|| [mm] (I-P^R) (u_1 [/mm] - [mm] u_2)||_V \leq ||I-P^R||_{op} ||u_1 [/mm] - [mm] u_2||_V [/mm]

wobei die Operatornorm [mm] ||I-P^R||_{op} [/mm] = [mm] sup_{||x||_V = 1} ||(I-P^R)x||_V [/mm] ist.
Es ist [mm] ||I-P^R||_{op} \leq ||I||_{op} [/mm] + [mm] ||P^R||_{op} [/mm] = 1 + 1.
Ich würde also in der Abschätzung einen Faktor 2 bekommen. Wo ist mein Fehler?

Ich bin sehr dankbar über jede Hilfe.
LG

        
Bezug
Operatornorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Do 31.03.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> Gegeben sei ein Hilbertraum V und ein Teilraum [mm]V^R \subset[/mm]
> V. Es seien [mm]u_1, u_2 \in[/mm] V. Es sei [mm]P^R[/mm] die orthogonale
> Projektion auf [mm]V^R[/mm] und I die Identität auf V. Dann gilt
> scheinbar:
>  
> || [mm](I-P^R) (u_1[/mm] - [mm]u_2)||_V \leq ||u_1[/mm] - [mm]u_2||_V[/mm]
>  
> Warum?
>  Ich würde so rechnen:
>
>
> || [mm](I-P^R) (u_1[/mm] - [mm]u_2)||_V \leq ||I-P^R||_{op} ||u_1[/mm] -
> [mm]u_2||_V[/mm]
>  
> wobei die Operatornorm [mm]||I-P^R||_{op}[/mm] = [mm]sup_{||x||_V = 1} ||(I-P^R)x||_V[/mm]
> ist.
>  Es ist [mm]||I-P^R||_{op} \leq ||I||_{op}[/mm] + [mm]||P^R||_{op}[/mm] = 1 +
> 1.
>  Ich würde also in der Abschätzung einen Faktor 2
> bekommen. Wo ist mein Fehler?

Du hast keinen Fehler gemacht. Du bist mit der obigen Abschätzung nur übers Ziel hinausgeschossen  !

Eine orthogonale  Projektion  [mm] \ne [/mm] 0 hat die Norm 1, das hast Du benutzt.

Beachte nun, dass [mm] I-P^R [/mm] ebenfalls eine orthogonale  Projektion ist. Sie projiziert auf das orthogonale Komplement von  [mm] V^R. [/mm]

fred

>  
> Ich bin sehr dankbar über jede Hilfe.
>  LG


Bezug
                
Bezug
Operatornorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 Do 31.03.2016
Autor: moerni

Wunderbar, Danke :-) !

Bezug
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