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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Orthogonal Projektion
Orthogonal Projektion < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Orthogonal Projektion: Projektion richtig ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Mo 20.01.2014
Autor: Huf99

Aufgabe
Es sei Vektor:

x = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] y = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] z = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]

Wie lautet die beste Approximation für x in [y,z] Ebene?
Wie groß ist der Approximationfehler ?

Ich hab die orthogonal Projektion mit dem Skalarprodukt, ähnlich wie bei dem Gram Schmidt Orthogonalisierungsverfahren versucht.

Einheitsvektor von y mit [mm] \bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]    Einheitsvektor von z mit [mm] \bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]

Dann wollte ich die Projektion so berechnen:

[mm] \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rangle [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{10}{4} \\ \bruch{10}{4} \\ \bruch{22}{4} \\ \bruch{10}{4} \end{pmatrix} [/mm]

Leider ist das nicht orthogonal zum Lotvektor

[mm] \begin{pmatrix} \bruch{-6}{4} \\ \bruch{-2}{4} \\ \bruch{-10}{4} \\ \bruch{6}{4} \end{pmatrix} [/mm]

Wo liegt mein Fehler ? Ich finde ihn leider nicht.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen :D

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Orthogonal Projektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Mo 20.01.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Es sei Vektor:
>  
> x = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] y =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] z =
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Wie lautet die beste Approximation für x in [y,z] Ebene?
>  Wie groß ist der Approximationfehler ?
>  Ich hab die orthogonal Projektion mit dem Skalarprodukt,
> ähnlich wie bei dem Gram Schmidt
> Orthogonalisierungsverfahren versucht.
>  
> Einheitsvektor von y mit [mm]\bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>    Einheitsvektor von z mit [mm]\bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Dann wollte ich die Projektion so berechnen:
>  
> [mm]\left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rangle[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{10}{4} \\ \bruch{10}{4} \\ \bruch{22}{4} \\ \bruch{10}{4} \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Leider ist das nicht orthogonal zum Lotvektor
>
> [mm]\begin{pmatrix} \bruch{-6}{4} \\ \bruch{-2}{4} \\ \bruch{-10}{4} \\ \bruch{6}{4} \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Wo liegt mein Fehler ? Ich finde ihn leider nicht.
>  Ich hoffe ihr könnt mir helfen :D


Hallo,

deine Idee würde vermutlich passen, falls y und z
normal zueinander wären. Dies ist aber nicht der
Fall.
Eine Möglichkeit wäre z.B., die Aufgabe als Extre-
malaufgabe aufzufassen: "Zerlege x in eine Summe
der Form  x=u*y+y*z+d , wobei [mm] u,v\in\IR [/mm] und d
ein Vektor minimalen Betrages ist"

LG ,   Al-Chw.

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Orthogonal Projektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Mo 20.01.2014
Autor: Huf99

Ok viele Dank für die schnelle Antwort.

Ich hätte aber dann die Frage warum die Vektoren der Ebene normal zueinander sein müssen? In meinem Skript stand davon nichts, das die Vektoren normal zueinder sein müssen und deshalb bin ich etwas überrascht :D

Jedenfalls hab ich jetzt mit Gram Schmidt die Vektoren orthogonal zueinander gemacht und es hat funktioniert ^^

Bezug
                        
Bezug
Orthogonal Projektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Mo 20.01.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Ok viele Dank für die schnelle Antwort.
>  
> Ich hätte aber dann die Frage warum die Vektoren der Ebene
> normal zueinander sein müssen? In meinem Skript stand
> davon nichts, das die Vektoren normal zueinder sein müssen
> und deshalb bin ich etwas überrascht :D
>  
> Jedenfalls hab ich jetzt mit Gram Schmidt die Vektoren
> orthogonal zueinander gemacht und es hat funktioniert ^^



Eben.

meine Message war ja nur: falls y und z zueinander
orthogonal wären, dann hätte deine erste Idee funktioniert.

Die zugrundelegende Idee  kannst du dir z.B. auch im
[mm] \IR^3 [/mm] klar machen. Wenn wir ein orthogonales x-y-z-
Koordinatensystem haben und darin von einem Punkt
P die Normalprojektionen [mm] P_x [/mm] (auf die x-Achse), [mm] P_y [/mm]
(auf die y-Achse) und [mm] P_{xy} [/mm] auf die xy-Ebene betrachten,
so gilt für die entsprechenden Ortsvektoren:

    $\ [mm] \vec P_{xy}\ [/mm] =\ [mm] \vec P_{x}\ [/mm] +\ [mm] \vec P_{y}$ [/mm]

Ist aber das zugrundeliegende Koordinatensystem nicht
orthogonal, so geht diese Eigenschaft verloren.

LG ,  Al-Chw.


Bezug
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