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Forum "Geraden und Ebenen" - Orthogonale Gerade
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Orthogonale Gerade: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Mi 10.06.2009
Autor: mathegenie84

Aufgabe
Konstruieren Sie durch den Mittelpunkt eine Gerade f die orthogonal auf der Dreiecksfläche steht.

Hallo Zusammen

Kann mir bitte jemand einen Tipp geben wie ich auf die Gerade komme.
Hier meine bisherigen Überlegungen:
Zuerst habe ich den Mittelpunkt bestimmt. Und dann habe ich die Ebene des Dreiecks aufgestellt in Parameterform aufgestellt.

Wenn ich nun die Gerade konstruiere, dann kann ich ja den Mittelpunkt als Aufpunkt der Gerade nehmen.

Aber wie komme ich auf den Richtungsvektor???



        
Bezug
Orthogonale Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 Mi 10.06.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Konstruieren Sie durch den Mittelpunkt eine Gerade f die
> orthogonal auf der Dreiecksfläche steht.

(gemeint ist vermutlich der Umkreismittelpunkt
des Dreiecks ...)


>  Hallo Zusammen
>  
> Kann mir bitte jemand einen Tipp geben wie ich auf die
> Gerade komme.
>  Hier meine bisherigen Überlegungen:
>  Zuerst habe ich den Mittelpunkt bestimmt. Und dann habe
> ich die Ebene des Dreiecks in Parameterform
> aufgestellt.
>  
> Wenn ich nun die Gerade konstruiere, dann kann ich ja den
> Mittelpunkt als Aufpunkt der Gerade nehmen.
>
> Aber wie komme ich auf den Richtungsvektor???


Hallo mathegenie,

Der muss zu den beiden Spannvektoren der Ebene
(oder eben zur Ebene selbst) orthogonal sein.
Nun gibt es verschiedene Lösungswege:

1.)  Die zwei Skalarprodukte, die Null sein müssen,
     aufschreiben und aus dem entstandenen GlSys
     einen möglichen Normalenvektor bestimmen.

2.)  Parameter aus der Ebenendarstellung elimi-
     nieren und aus der entstandenen Koordinaten-
     gleichung den Normalenvektor ablesen.

3.)  Wenn du das Vektorprodukt kennst, kannst
     du aus den Spannvektoren direkt einen Nor-
     malenvektor berechnen.


LG    Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Orthogonale Gerade: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Mi 10.06.2009
Autor: mathegenie84

Aufgabe
Konstruieren Sie durch den Mittelpunkt eine Gerade f die orthogonal auf der Rechtecksfläche steht.

Habe wohl die  Aufgabenstellung vertauscht.

Die Ebene lautet: A + BC + CD    (BC und CD sind Richtungsvektoren)

A(3/0/1)
BC (2/-6/3)
CD (2/4/0)





Bezug
                        
Bezug
Orthogonale Gerade: Frage1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Mi 10.06.2009
Autor: mathegenie84

Aufgabe
Siehe Oben

Kann es sein, dass ich einfach den Normalenvektor der Ebene
erstellen muss und dieser dann mit dem Skalarprodukt des
Richtungsvektors der Gerade gleich null ergeben muss???

Der Normalenvektor der Ebene müsste (-6/3/10) sein??

Kann das wohl jemand kurz überprüfen???

Bezug
                                
Bezug
Orthogonale Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Mi 10.06.2009
Autor: MathePower

Hallo mathegenie84,


> Siehe Oben
>  Kann es sein, dass ich einfach den Normalenvektor der
> Ebene
> erstellen muss und dieser dann mit dem Skalarprodukt des
> Richtungsvektors der Gerade gleich null ergeben muss???


Da die Gerade senkrecht zur Ebene E sein muß,
ist der Richtungsvektor dieser Geraden
zugleich der Normalenvektor der Ebene E.


>  
> Der Normalenvektor der Ebene müsste (-6/3/10) sein??


Stimmt. [ok]


>  
> Kann das wohl jemand kurz überprüfen???


Gruß
MathePower

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Bezug
Orthogonale Gerade: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Mi 10.06.2009
Autor: mathegenie84

Aufgabe
Welche Punkte der Geraden haben nun von der Rechtecksfläche den Abstand 3 LE?

Danke für die schnelle Info.

Ich habe jetzt nun die Gerade mit dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor und dem Aufpunkt erstellt.

Wie kann ich jetzt weiter vorgehen??

Bezug
                                                
Bezug
Orthogonale Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Mi 10.06.2009
Autor: MathePower

Hallo mathegenie84,

> Welche Punkte der Geraden haben nun von der Rechtecksfläche
> den Abstand 3 LE?
>  Danke für die schnelle Info.
>  
> Ich habe jetzt nun die Gerade mit dem Normalenvektor der
> Ebene als Richtungsvektor und dem Aufpunkt erstellt.
>  
> Wie kann ich jetzt weiter vorgehen??


Da der Aufpunkt der Geraden auf der Ebene liegt,
muß demnach gelten

[mm]\vmat{\lambda \overrightarrow{n_{E}}}=3[/mm]

, wobei [mm]\overrightarrow{n_{E}}[/mm] der Normalenvektor der Ebene ist.

Daraus erhältst Du nun die Punkte Geraden,
für die das geforderte gilt.


Gruß
MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Orthogonale Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Mi 10.06.2009
Autor: mathegenie84

Aufgabe
siehe oben

IµneI = 3
wie kann man das denn auflösen, irgendwie verstehe
ich jetzt gar nichts mehr.....

Bezug
                                                                
Bezug
Orthogonale Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Mi 10.06.2009
Autor: MathePower

Hallo mathegenie84,


> siehe oben
>  IµneI = 3
> wie kann man das denn auflösen, irgendwie verstehe
> ich jetzt gar nichts mehr.....


es gilt

[mm]\vmat{\lambda \overrightarrow{n_{E}}}=\vmat{\lambda}*\vmat{\overrightarrow{n_{E}}}[/mm]

Weiterhin gilt

[mm]\vmat{\lambda}=\vmat{-\lambda}[/mm]

Dann kannst Du das nach [mm]\lambda[/mm] auflösen.


Gruß
MathePower



Bezug
                                                                        
Bezug
Orthogonale Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Mi 10.06.2009
Autor: mathegenie84

Aufgabe
siehe oben

muss ich dann die 3 durch den Normalenvektor teilen um auf µ zu kommen???
Oder wie löse ich nach µ auf???
Irgendwie haben wir das noch nie gemacht.

Bezug
                                                                                
Bezug
Orthogonale Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Mi 10.06.2009
Autor: Arcesius


> siehe oben
>  muss ich dann die 3 durch den Normalenvektor teilen um auf
> µ zu kommen???
>  Oder wie löse ich nach µ auf???
>  Irgendwie haben wir das noch nie gemacht.


Hallo

Also erstens ist dieses [mm] \mu [/mm] bzw. dieses [mm] \lambda [/mm] wie es ursprünglich genannt wurde ja nur ein Skalar. Der Betrag des Normalvektors ist auch nur ein Skalar, sowie auch die Zahl 3...
Es ist also nur eine Gleichung mit einer Unbekannten nach dieser Unbekannten aufzulösen, nichts weiteres!

Für [mm] n_{E} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] gilt:

[mm] |n_{E}| [/mm] = [mm] \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} [/mm]  

Vielleicht jetzt? ;)

Grüsse, Amaro

Bezug
                                                                                        
Bezug
Orthogonale Gerade: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 Mi 10.06.2009
Autor: mathegenie84

Aufgabe
siehe oben

so ich glaube jetzt hat es Klick gemacht:

ich habe jetzt für µ =  + und - 0,25 heraus.....

....dieses Ergebnis habe ich dann in die Gerade eingesetzt und
dann kommen zwei Punkte heraus.

Ich hoffe das das dann so stimmt.

Bezug
                                                                                                
Bezug
Orthogonale Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 Do 11.06.2009
Autor: MathePower

Hallo mathegenie84,


> siehe oben
>  so ich glaube jetzt hat es Klick gemacht:
>  
> ich habe jetzt für µ =  + und - 0,25 heraus.....


Genau genommen, kommt hier heraus:

[mm]\mu=\pm\bruch{3}{\wurzel{145}}=\pm0.2491...[/mm]


>  
> ....dieses Ergebnis habe ich dann in die Gerade eingesetzt
> und
>  dann kommen zwei Punkte heraus.


Nun, Du solltest bis zum Erreichen des Endergebnisses mit den exakten Werten rechnen. Die Fehler, die durch Rundung des Zwischenergebnisses entstehen, machen sich natürlich auch beim Endergebnis bemerkbar.


>  
> Ich hoffe das das dann so stimmt.


Gruß
MathePower

Bezug
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