Orthogonale Matrizen bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie bei folgenden Matrizen die freien Koeffizienten so, dass sich eine orthogonale Matrix ergibt. Wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils
a)
[mm] A=\pmat{ \bruch{1}{2} & a_{12} & \wurzel{2}\bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & a_{23}\\ a_{31} & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & a_{33}}
[/mm]
b)
[mm] A=\pmat{ \bruch{1}{2} & \* & \*\\ \* & 1 & \*\\ \* & \* & -\bruch{1}{2}} [/mm] |
a)
Es gilt:
[mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & a_{12} & \wurzel{2}\bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & a_{23}\\ a_{31} & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & a_{33}}*\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & a_{31}\\ a_{12} & -\bruch{1}{2} & \wurzel{2}\bruch{1}{2}\\ \wurzel{2}\bruch{1}{2} & a_{23} & a_{33}}=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:
Gleichung 1: [mm] \bruch{1}{4}+a_{12}^2+\bruch{1}{2}=1
[/mm]
Gleichung 2: [mm] \bruch{1}{4}-\bruch{a_{12}}{2}+\bruch{\wurzel{2}a_{23}}{2}=0
[/mm]
Gleichung 3: [mm] \bruch{a_{31}}{2}+\bruch{\wurzel{2}a_{12}}{2}+\bruch{\wurzel{2}a_{33}}{2}=0
[/mm]
Gleichung 4: [mm] \bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}+a_{23}^2=1
[/mm]
Gleichung 5: [mm] \bruch{a_{31}}{2}-\bruch{\wurzel{2}}{4}+a_{23}*a_{33}=0
[/mm]
Gleichung 6: [mm] a_{31}^2+\bruch{1}{2}+a_{33}^2=1
[/mm]
Aus Gleichung 1 folgt:
[mm] a_{12}=\pm\bruch{1}{2}
[/mm]
Aus Gleichung 4 folgt:
[mm] a_{23}=\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Aus Gleichung 3 folgt:
[mm] a_{31}=-\wurzel{2}a_{12}-\wurzel{2}a_{33}=-\wurzel{2}(\pm\bruch{1}{2})-\wurzel{2}a_{33}
[/mm]
Aus Gleichung 5 folgt:
[mm] a_{31}-\bruch{\wurzel{2}}{2}+2*a_{23}*a_{33}=0
[/mm]
[mm] (-\wurzel{2}(\pm\bruch{1}{2})-\wurzel{2}a_{33})-\bruch{\wurzel{2}}{2}+2*(\pm\bruch{\wurzel{2}}{2})*a_{33}=0
[/mm]
[mm] a_{33}(-\wurzel{2}+2*(\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}))=\bruch{\wurzel{2}}{2}+\wurzel{2}(\pm\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] a_{33}=\bruch{\bruch{\wurzel{2}}{2}+\wurzel{2}(\pm\bruch{1}{2})}{-\wurzel{2}+2*(\pm\bruch{\wurzel{2}}{2})}
[/mm]
[mm] a_{23}\not=\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] weil man sonst bei der letzten Gleichung durch Null teilen würde
Daraus ergeben sich zwei Lösungsmöglichkeiten:
Lösung 1:
[mm] a_{12}=\bruch{1}{2}; a_{23}=-\bruch{\wurzel{2}}{2}; a_{33}=-\bruch{1}{2}; a_{31}=0
[/mm]
Lösung 2:
[mm] a_{12}=-\bruch{1}{2}; a_{23}=-\bruch{\wurzel{2}}{2}; a_{33}=0; a_{31}=\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Ist die Lösung richtig oder gibt es noch mehr Lösungsmöglichkeiten?
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Hallo!
ich habe das mal durch den Computer gejagt. Tatsächlich ist nur deine zweite Lösung korrekt, die erste dagegen nicht.
Um es kurz zu machen: Du vernachlässigst Gleichung 2. Denn nachdem du mit Gleichung 1 & 4 die doppelten Lösungen für [mm] $a_{12}$ [/mm] und [mm] $a_{23}$ [/mm] ermittelt hast, wird Gleichung 2 die Vorzeichen für beide eindeutig festlegen.
Damit können sich diese Variablen in beiden Lösungen nicht unterscheiden, tun sie aber.
Noch präziser: Du erkennst irgendwann das Vorzeichen von [mm] $a_{23}$, [/mm] lässt aber das von [mm] $a_{12}$ [/mm] offen, und das führt zu zwei Lösungen.
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[mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & 1 & b_{23}\\ b_{31} & b_{31 } & -\bruch{1}{2}}\cdot{}\pmat{ \bruch{1}{2} & b_{21} &b_{31} \\ b_{12} & 1& b_{32}\\ b_{13}& b_{23} & -\bruch{1}{2}}=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Daraus ergeben sich folgenden:
Gleichung 1: [mm] \bruch{1}{4}+b_{12}^2+b_{13}^2=1
[/mm]
Gleichung 2: [mm] \bruch{b_{21}}{2}+b_{12}+b_{13}*b_{23}=0
[/mm]
Gleichung 3: [mm] \bruch{b_{31}}{2}+b_{12}*b_{32}-\bruch{b_{13}}{2}=0
[/mm]
Gleichung 4: [mm] b_{21}^2+1+b_{23}^2=1
[/mm]
Gleichung 5: [mm] b_{21}*b_{31}+b_{32}-\bruch{b_{23}}{2}=0
[/mm]
Gleichung 6: [mm] b_{31}^2+b_{32}^2+\bruch{1}{4}=1
[/mm]
Puh das sind 6 Unbekannte und Gleichungen. Habt ihr Tipps wie ich dieses gleichungssystem am besten lösen kann (will mich nicht so sehr quälen). Mit welcher Gleichung fange ich am besten an?
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> [mm]\pmat{ \bruch{1}{2} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & 1 & b_{23}\\ b_{31} & b_{31 } & -\bruch{1}{2}}\cdot{}\pmat{ \bruch{1}{2} & b_{21} &b_{31} \\ b_{12} & 1& b_{32}\\ b_{13}& b_{23} & -\bruch{1}{2}}=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Daraus ergeben sich folgenden:
>
> Gleichung 1: [mm]\bruch{1}{4}+b_{12}^2+b_{13}^2=1[/mm]
>
> Gleichung 2: [mm]\bruch{b_{21}}{2}+b_{12}+b_{13}*b_{23}=0[/mm]
>
> Gleichung 3:
> [mm]\bruch{b_{31}}{2}+b_{12}*b_{32}-\bruch{b_{13}}{2}=0[/mm]
>
> Gleichung 4: [mm]b_{21}^2+1+b_{23}^2=1[/mm]
>
> Gleichung 5: [mm]b_{21}*b_{31}+b_{32}-\bruch{b_{23}}{2}=0[/mm]
>
> Gleichung 6: [mm]b_{31}^2+b_{32}^2+\bruch{1}{4}=1[/mm]
>
> Puh das sind 6 Unbekannte und Gleichungen. Habt ihr Tipps
> wie ich dieses gleichungssystem am besten lösen kann (will
> mich nicht so sehr quälen). Mit welcher Gleichung fange
> ich am besten an?
Hallo,
ich würd' mal sagen: Gleichung 4 ist ein brandheißer Kandidat für den Beginn...
(Prinzipiell finde ich aber die Vorgehensweise, sich den Kopf über den einfachsten Weg zu zerbrechen statt einfach mal zu beginnen, nicht so sinnvoll.
Die besseren Wege erkennt man leichter, wenn man die nicht so guten oft genug gegangen ist.)
LG Angela
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Hallo,
ich komme immer noch nicht zurecht. Für mich sind das viel zu viele unbekannte.
Gleichung 4 bringt mir:
[mm] b_{21}^2=-b_{23}^2
[/mm]
Die Wurzel kann ich nicht ziehen. Wie mache ich jetzt weiter? Ich wollte zum Beispiel Gleichung 2 nach [mm] b_{21} [/mm] umstellen und in die Gleichung [mm] b_{21}^2=-b_{23}^2 [/mm] einsetzen, aber das bringt mir irgendwie nix. Muss ich für die unbekannten die pq-Formel anwenden?
Ich wäre für eine schritt für schritt anleitung wirklich dankbar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mi 22.06.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo,
>
> ich komme immer noch nicht zurecht. Für mich sind das viel
> zu viele unbekannte.
Noa, zu viele Unbekannte gibt es nicht :) Alles 'ne Uebungssache ^^
>
> Gleichung 4 bringt mir:
>
> [mm]b_{21}^2=-b_{23}^2[/mm]
Jepsi!
>
> Die Wurzel kann ich nicht ziehen. Wie mache ich jetzt
Wir sind in [mm] $\IR$, [/mm] richtig? Dann ergibt das nicht wirklich viel Sinn, ja...
> weiter? Ich wollte zum Beispiel Gleichung 2 nach [mm]b_{21}[/mm]
Denk 'mal ganz scharf nach. Wann kann ein Quadrat gleich nem negativen Quadrat sein!?
Anders gesagt: Irgendwo wird doch bestimmt auf deinem Zettel
[mm] $b_{21}^2+b_{23}^2=0$
[/mm]
stehen, richtig? Wie muessen zwei Zahlen [mm] $\ge [/mm] 0$ aussehen, damit deren Summe 0 ergibt?
> umstellen und in die Gleichung [mm]b_{21}^2=-b_{23}^2[/mm]
> einsetzen, aber das bringt mir irgendwie nix. Muss ich für
> die unbekannten die pq-Formel anwenden?
>
> Ich wäre für eine schritt für schritt anleitung wirklich
> dankbar
Das schaffen wir schon zusammen ;)
>
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Hallo,
> Denk 'mal ganz scharf nach. Wann kann ein Quadrat gleich
> nem negativen Quadrat sein!?
>
> Anders gesagt: Irgendwo wird doch bestimmt auf deinem
> Zettel
>
> [mm]b_{21}^2+b_{23}^2=0[/mm]
>
> stehen, richtig? Wie muessen zwei Zahlen [mm]\ge 0[/mm] aussehen,
> damit deren Summe 0 ergibt?
Es muss gelten [mm] b_{21}=b_{23}=0
[/mm]
Das würde die Aufgabe EXTREM vereinfachen. Aus Gleichung 2 folgt dann:
$ [mm] \bruch{b_{21}}{2}+b_{12}+b_{13}\cdot{}b_{23}=0 [/mm] $
[mm] b_{12}=0
[/mm]
Aus Gleichung 1 folgt dann:
[mm] b_{13}=\pm\wurzel{1-\bruch{1}{4}}=\pm\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Aus Gleichung 3 folgt dann:
[mm] b_{31}=b_{13}=\pm\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Aus Gleichung 5 folgt:
[mm] b_{32}=0
[/mm]
Es gibt zwei Lösungsmöglichkeiten:
Lösung 1: [mm] b_{12}=b_{21}=b_{23}=b_{32}=0 [/mm] und [mm] b_{13}=b_{31}=\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Lösung 2: [mm] b_{12}=b_{21}=b_{23}=b_{32}=0 [/mm] und [mm] b_{13}=b_{31}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
stimmt die Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:30 Do 23.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Denk 'mal ganz scharf nach. Wann kann ein Quadrat gleich
> > nem negativen Quadrat sein!?
> >
> > Anders gesagt: Irgendwo wird doch bestimmt auf deinem
> > Zettel
> >
> > [mm]b_{21}^2+b_{23}^2=0[/mm]
> >
> > stehen, richtig? Wie muessen zwei Zahlen [mm]\ge 0[/mm] aussehen,
> > damit deren Summe 0 ergibt?
>
> Es muss gelten [mm]b_{21}=b_{23}=0[/mm]
>
> Das würde die Aufgabe EXTREM vereinfachen. Aus Gleichung 2
> folgt dann:
>
> [mm]\bruch{b_{21}}{2}+b_{12}+b_{13}\cdot{}b_{23}=0[/mm]
>
> [mm]b_{12}=0[/mm]
>
> Aus Gleichung 1 folgt dann:
>
> [mm]b_{13}=\pm\wurzel{1-\bruch{1}{4}}=\pm\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> Aus Gleichung 3 folgt dann:
>
> [mm]b_{31}=b_{13}=\pm\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> Aus Gleichung 5 folgt:
>
> [mm]b_{32}=0[/mm]
>
> Es gibt zwei Lösungsmöglichkeiten:
>
> Lösung 1: [mm]b_{12}=b_{21}=b_{23}=b_{32}=0[/mm] und
> [mm]b_{13}=b_{31}=\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
>
> Lösung 2: [mm]b_{12}=b_{21}=b_{23}=b_{32}=0[/mm] und
> [mm]b_{13}=b_{31}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> stimmt die Lösung?
>
ja
fred
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