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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Orthonormale Basis
Orthonormale Basis < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Orthonormale Basis: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Mo 05.05.2014
Autor: dodo1924

Aufgabe
Gib eine orthonormale Basis des Unterraums W des [mm] C^3 [/mm] an, der durch [mm] \vec{v_1} [/mm] := (1,i,0) und [mm] \vec{v_2} [/mm] :=  (1,2,1-i) aufgespannt wird. (Gram-Schmidt)



Hi!

Mit dem Gram-Schmidt  Verfahren bekomme ich ja zuerst eine orthgonale Basis und wenn ich dann die Basisvektoren normalisiere habe ich eine Orthonormalbasis!

Gram-Schmidt:
sei [mm] B:={\vec{x_1}, \vec{x_2}} [/mm]
[mm] \vec{x_1} [/mm] = [mm] \vec{v_1} [/mm]
[mm] \vec{x_2} [/mm] = [mm] \vec{v_2} [/mm] - [mm] (<\vec{v_1},\vec{x_1}>/||\vec{x_1}||^2)*\vec{x_1} [/mm]
da jedoch [mm] ||\vec{x_1}||^2 [/mm] = [mm] <\vec{x_1},\vec{x_1}> [/mm] = [mm] 1+i^2 [/mm] = 1-1 = 0 gilt ja [mm] vec{x_2} [/mm] = [mm] \vec{v_2} [/mm] - 0 = [mm] \vec{v_2}! [/mm]
Also bilden die Vektoren aus der Angabe ja bereits eine orthogonale Basis, richtig?

        
Bezug
Orthonormale Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Mo 05.05.2014
Autor: leduart

Hallo
[mm] |v_1|=|1|^2+|i|^2=1+1=2 [/mm]
nur der Nullvektor hat den Betrag 0. in [mm] \IC [/mm] ist das Skalarprodukt  [mm] =a*\overline{a} [/mm]
ausserdem macht die aussage etwas ist orthogonal zu, Nullvektor nicht viel Sinn. (und durch 0 dividieren gibt i.A. nicht 0
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Orthonormale Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Mo 05.05.2014
Autor: dodo1924

Dann komme ich auf folgendes [mm] x_2: [/mm]

(1+2i)/2 = 1/2 + i

[mm] x_2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1-i} -(1/2+i)*\vektor{1 \\ i \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1-i} -\vektor{ 0.5+i\\ 0.5+i^2 (=-0,5) \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0.5-i \\ 2.5 \\ 1-i} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Orthonormale Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Mo 05.05.2014
Autor: leduart

Hallo
1- kannst du dein Ergebnis selbst überprüfen und fesstellen dass den x1,x2 nicht orthogonal!
2.    (0.5+i)*i=0.5*i-1
wie habt ihr das Skalarprodukt [mm] in\IC [/mm] definiert? als Sesquilinearform  (siehe wiki) oder als den Realteil davon?
beides hast du nicht verwendet.
Gruß leduart

Bezug
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