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Oszillator, Reibung, Dgl,: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:20 Sa 26.03.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Die Differentialgleichung
f''(t) + [mm] \alpha [/mm] f'(t) + [mm] \omega [/mm] f(t)=0
[mm] \alpha \in \mathbb{R}, \omega [/mm] >0
ist der harmonische Oszillator mit Reibung. Finden Sie die Lösung indem Sie andermal [mm] f(t)=e^{\lambda t}, \lambda \in \mathbb{C}, [/mm] versuchen.

Hallo
Sei [mm] g(t)=e^{\lambda t} [/mm]
g'(t)= [mm] \lambda e^{\lambda t}, [/mm] g''(t)= [mm] \lambda^2 e^{\lambda t} [/mm]
Ist g eine Lösung der Dgl: 0= g''(t) + [mm] \alpha [/mm] g'(t) + [mm] \omega [/mm] g(t)
0= [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \alpha \lambda [/mm] + [mm] \omega [/mm] da [mm] e^{\lambda t} \not=0 \forall [/mm] t
[mm] \lambda_{1,2}= \frac{- \alpha}{2} \pm \sqrt{\frac{\alpha^2}{4} - \omega} [/mm]

Sei L der Lösungsraum der Dgl.


Fall 1: [mm] \frac{\alpha^2}{4} [/mm] < [mm] \omega [/mm]
Setze [mm] \omega_0:= \sqrt{\omega - \alpha^2/4} [/mm]
[mm] \lambda_{1,2}= -\frac{\alpha}{2} \pm [/mm] i [mm] \omega_0 [/mm]
[mm] \phi_1 [/mm] (t)= [mm] e^{- \frac{\alpha}{2} t} e^{i \omega_0 t} [/mm]
[mm] \phi_2 [/mm] (t)= [mm] e^{- \frac{\alpha}{2} t} e^{-i \omega_0 t} [/mm]
So ist [mm] \phi_1, \phi_2 \in [/mm] L. Da L ein  komplexer Vektorraum ist, ist ebenfalls jede Linerkombination: [mm] \epsilon_1* \phi_1+ \epsilon_2* \phi_2 \in [/mm] L mit [mm] \epsilon_1, \epsilon_2 \in \mathbb{C} [/mm]

Reelle Lösungen: Es gilt dafür: [mm] \overline{\epsilon_1}= \epsilon_2 [/mm] mit [mm] \epsilon_1:= [/mm] r * [mm] e^{i \Phi} [/mm]
D.h. [mm] \epsilon_1* \phi_1+ \epsilon_2* \phi_2 [/mm] = [mm] e^{- \frac{\alpha}{2}t}( |\epsilon_1| [/mm] * [mm] e^{i \Phi} [/mm] * [mm] e^{i \omega_0 t} [/mm] + [mm] |\epsilon_1| e^{- i \Phi} [/mm] * [mm] e^{- i \omega_0 t})= |\epsilon_1| e^{- \frac{\alpha}{2}} 2(cos(\phi [/mm] + [mm] \omega_0 [/mm] t))

So woher weiß ich nun, dass ich alle Lösungen für den Fall 1) gefunden habe? Das der Lösungraum ein zweidimensionaler Vektorraum ist hatten wir bis jetzt noch nicht, dafür aber den Satz von Picard Lindelöf.
Geht es damit?
Ich habe versucht, das wie in beitrag https://matheraum.de/read?t=1072338 von fred zu lösen, jedoch gilt in dem Fall ja nicht u(0)=0 und u'(0)=0. Also man müsste z anders wählen, aber wie?
Fall 2 und Fall 3 widme ich mich, nachdem die Fragen zu Fall 1 beseitigt wurden;)


        
Bezug
Oszillator, Reibung, Dgl,: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 28.03.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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