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Partialbruchzerlegung: 2 Ansätze
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:45 Do 21/12/2017
Author: Pacapear

Hallo zusammen!

Ich soll die PBZ der Funktion $f(x) = [mm] \frac{5x-10}{2x^2-7x+3}$ [/mm] bestimmen.

Als Nennernullstellen habe ich 3 und 0,5 berechnet.

Damit habe ich folgenden Ansatz gewählt:

[mm] $\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} [/mm] = [mm] \frac{A_1}{x-3} [/mm] + [mm] \frac{A_2}{x-0,5} [/mm] = [mm] \frac{A_1(x-0,5)}{(x-3)(x-0,5)} [/mm] + [mm] \frac{A_2(x-3)}{(x-3)(x-0,5)} [/mm] = [mm] \frac{A_1x - 0,5A_1 + A_2x-3A_2}{(x-3)(x-0,5)} [/mm] = [mm] \frac{(A_1+A_2)x - (0,5A_1 + 3A_2)}{(x-3)(x-0,5)}$ [/mm]

Nach Koeffizientenvergleich und LGS lösen erhalte ich folgende Zerlegung:

[mm] $\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} [/mm] = [mm] \frac{2}{x-3} [/mm] + [mm] \frac{3}{x-0,5}$ [/mm]

Ein Online-Rechner spuckt mir jetzt folgenden Ergebnis aus:

[mm] $\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} [/mm] = [mm] \frac{1}{x-3} [/mm] + [mm] \frac{3}{2x-1}$ [/mm]

Die Nennernullstellen sind ja die gleichen, aber ich dachte, man macht im Nenner immer "x - NST".

Welcher Ansatz und welches Ergebnis stimmen jetzt (und warum?)?

Danke schonmal!

VG, Nadine

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:04 Do 21/12/2017
Author: Diophant

Hallo,

>

> Ich soll die PBZ der Funktion [mm]f(x) = \frac{5x-10}{2x^2-7x+3}[/mm]
> bestimmen.

>

> Als Nennernullstellen habe ich 3 und 0,5 berechnet.

Die sind schonmal korrekt (aber das weißt du ja dank dem Online-Rechner). [ok]


> Damit habe ich folgenden Ansatz gewählt:

>

> [mm]\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} = \frac{A_1}{x-3} + \frac{A_2}{x-0,5} = \frac{A_1(x-0,5)}{(x-3)(x-0,5)} + \frac{A_2(x-3)}{(x-3)(x-0,5)} = \frac{A_1x - 0,5A_1 + A_2x-3A_2}{(x-3)(x-0,5)} = \frac{(A_1+A_2)x - (0,5A_1 + 3A_2)}{(x-3)(x-0,5)}[/mm]

>

> Nach Koeffizientenvergleich und LGS lösen erhalte ich
> folgende Zerlegung:

>

> [mm]\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} = \frac{2}{x-3} + \frac{3}{x-0,5}[/mm]

>

Es wäre hier gut gewesen, wenn du dein LGS angegeben hättest, aber es geht hier auch per Kristallkugel:

- Dein LGS:

[mm]\begin{aligned} A_1+A_2&=5\\ 0.5A_1+3A_2&=10 \end{aligned}[/mm]

Um es kurz zu machen, das ist falsch und der Fehler ist schnell gefunden: du hast den Faktor 2, mit dem du deine Linearfaktorzerlegung noch multiplizieren müsstest, um auf das Nennerpolynom zu kommen, nicht berücksichtigst. Tut man dies, so erhält man:

- Das korrekte LGS:

[mm]\begin{aligned} 2A_1+A_2&=5\\ A_1+6A_2&=10 \end{aligned}[/mm]

> Ein Online-Rechner spuckt mir jetzt folgenden Ergebnis
> aus:

>

> [mm]\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} = \frac{1}{x-3} + \frac{3}{2x-1}[/mm]

>

Das ist korrekt und mit dem angegebenen LGS rechnest du es leicht nach.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 12:40 Fr 22/12/2017
Author: Pacapear

Hallo!



> Es wäre hier gut gewesen, wenn du dein LGS angegeben
> hättest, aber es geht hier auch per Kristallkugel:
>  
> - Dein LGS:
>  
> [mm]\begin{aligned} A_1+A_2&=5\\ 0.5A_1+3A_2&=10 \end{aligned}[/mm]

Ja, genau so hatte ich es.



> Um es kurz zu machen, das ist falsch und der Fehler ist
> schnell gefunden: du hast den Faktor 2, mit dem du deine
> Linearfaktorzerlegung noch multiplizieren müsstest, um auf
> das Nennerpolynom zu kommen, nicht berücksichtigst.

Oh, das war mir irgendwie gar nicht klar.

Jetzt habe ich es verstanden.

Vielen Dank :-)

Bezug
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