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Picard-Lindelöf: Heuser, Ana2, A117.2
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:56 Di 15/03/2016
Author: sandroid

Aufgabe
Löse das folgende Anfangswertproblem iterativ:

$y' = xy$, $y(0)=1$

(Wobei iterativ in diesem Kapitel vom Heuser wohl bedeutet, mithilfe des Satzes von Picard-Lindelöf.)

Hallo,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.

Zunächst einmal: Der Satz von Picard-Lindelöf sichert mir doch eine Lösung nur in einem bestimmten Intervall zu. So wie die Aufgabe formuliert ist, bräuchte ich aber doch eine Lösung für ganz [mm] $\mathbb{R}^2$? [/mm]

Nun, wenn ich mit [mm] $y_0 [/mm] = 1$ anfange und die ersten Iterationen durchführe mit

[mm] $y_{n+1}(x) [/mm] := [mm] 1+\integral_{0}^{x}{f(t,y_n(t)) dt}$ [/mm]

so erhalte ich natürlich immer längere Polynome. Eigentlich müsste diese Funktionenfolge ja gegen die Lösung konvergieren. Nur wie zeige ich dies?

Die Lösung nach Buch lautet ohne Kommentar: [mm] $y(x)=e^{\bruch{x^2}{2}}$. [/mm]

Vielen Dank für jede Hilfe!

Gruß,
Sandro


        
Bezug
Picard-Lindelöf: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:09 Di 15/03/2016
Author: fred97


> Löse das folgende Anfangswertproblem iterativ:
>  
> [mm]y' = xy[/mm], [mm]y(0)=1[/mm]
>  
> (Wobei iterativ in diesem Kapitel vom Heuser wohl bedeutet,
> mithilfe des Satzes von Picard-Lindelöf.)
>  Hallo,
>  
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
>  
> Zunächst einmal: Der Satz von Picard-Lindelöf sichert mir
> doch eine Lösung nur in einem bestimmten Intervall zu. So
> wie die Aufgabe formuliert ist, bräuchte ich aber doch
> eine Lösung für ganz [mm]\mathbb{R}^2[/mm]?
>  
> Nun, wenn ich mit [mm]y_0 = 1[/mm] anfange und die ersten
> Iterationen durchführe mit
>  
> [mm]y_{n+1}(x) := 1+\integral_{0}^{x}{f(t,y_n(t)) dt}[/mm]
>  
> so erhalte ich natürlich immer längere Polynome.
> Eigentlich müsste diese Funktionenfolge ja gegen die
> Lösung konvergieren. Nur wie zeige ich dies?

Wie lautet denn diese Folge von Polynome ???

Fred



>  
> Die Lösung nach Buch lautet ohne Kommentar:
> [mm]y(x)=e^{\bruch{x^2}{2}}[/mm].
>  
> Vielen Dank für jede Hilfe!
>  
> Gruß,
>  Sandro
>  


Bezug
                
Bezug
Picard-Lindelöf: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:05 Di 15/03/2016
Author: sandroid

Hallo Fred,

die Funktionenfolge lautet, sofern ich mich nicht vertue:

[mm] $y_n(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^n a_i x^{2i}$ [/mm] mit [mm] $a_i [/mm] := [mm] \produkt_{i=1}^n \bruch{1}{2i}$ [/mm] für alle [mm] $n\in \mathbb{N}$. [/mm]

Wenn ich für $x$ im Intervall $]-1,1[$ bleibe, kann ich mir vorstellen, dass die Folge konvergiert (wie zeige ich das am besten?), doch gegen eine Exponentialfunktion? Benötige ich die Definition der Exponentialfunktion als Reihe?

Und wie sieht es überhaupt außerhalb von $]-1,1[$ aus? Da gilt die Lösung wohl nicht, gibt es eine andere?

Fragen über Fragen, vielen Dank wieder für jede Hilfe.

Gruß,
Sandro

Bezug
                        
Bezug
Picard-Lindelöf: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:34 Di 15/03/2016
Author: fred97


> Hallo Fred,
>  
> die Funktionenfolge lautet, sofern ich mich nicht vertue:
>  
> [mm]y_n(x) = \summe_{i=0}^n a_i x^{2i}[/mm] mit [mm]a_i := \produkt_{i=1}^n \bruch{1}{2i}[/mm]
> für alle [mm]n\in \mathbb{N}[/mm].

das dachte ich mir. [mm] y_n [/mm] ist die n-te teilsumme der Potenzreihe für exp [mm] (x^2/2) [/mm]

diese Folge konvergiert auf ganz R lokal gleichmäßig


fred

>  
> Wenn ich für [mm]x[/mm] im Intervall [mm]]-1,1[[/mm] bleibe, kann ich mir
> vorstellen, dass die Folge konvergiert (wie zeige ich das
> am besten?), doch gegen eine Exponentialfunktion? Benötige
> ich die Definition der Exponentialfunktion als Reihe?
>  
> Und wie sieht es überhaupt außerhalb von [mm]]-1,1[[/mm] aus? Da
> gilt die Lösung wohl nicht, gibt es eine andere?
>  
> Fragen über Fragen, vielen Dank wieder für jede Hilfe.
>  
> Gruß,
>  Sandro


Bezug
                                
Bezug
Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 01:02 Mi 16/03/2016
Author: sandroid


Vielen Dank!

Bezug
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