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Picard Iteration: "Tipp"
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:51 Mi 06.07.2016
Autor: Ardbeg

Aufgabe
Das Lösen eines DGL-Systems mit Hilfe der Iteration u [mm] \mapsto [/mm] Tu bezeichent man als Picard-Iteration.
Betrachten Sie das Anfangswertproblem:
u'(t)=u(t)*cos(t)
u(0)=1

i) Bestimmen Sie ein möglichst großes Intervall [0, b], auf dem die Konvergenz des Verfahrens garantiert ist.

ii) Bestimmen Sie per Picard-Iteration eine Lösung u(t) des Anfangswertproblems und
geben Sie einen größtmöglichen Definitionsbereich D [mm] \subseteq \IR_{\ge 0} [/mm] an, auf dem u(t) das Anfangswertproblem löst.

Hallo!

Hier mal mein Lösungsansatz:

Sei f: [0;b] x [1-r;1+r] [mm] \to \IR [/mm] f(t,u(t))=u(t)*cos(t) mit r>0. Dann ist f als Komposition stetiger Funktion stetig. Außerdem gilt:

[mm] |f(t;u(t)-f(t;w(t))|=|u(t)cos(t)-w(t)cos(t)|=|cos(t)|*|u(t)-w(t)|\le1*|u(t)-w(t)| [/mm]
[mm] \forall t\in[0;b]; \forall u(t),w(t)\in[1-r;1+r] [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] l-stetig bezüglich L-Konstante L=1.

Nach Satz von Picard-Lindelöf (lokal) exisitert also eine eindeutige Lösung des AWP aud dem Intervall [mm] [\alpha;a+\alpha] [/mm]

mit [mm] \alpha=min{(\bruch{1}{2L};\bruch{r}{M})}=min{(\bruch{1}{2};\bruch{r}{M})} [/mm] ; mit [mm] M=\sup_{t\in[0;b]}|f(t;2*(1+r)|=\max_{t\in[0;b]}|cos(t)|\le [/mm]

Und hier komme ich nicht auf die Abschätzung. Ich denke, dass es soweit eigentlich ganz gut ist, nur wüsste ich nicht, wie ich hier eine passende Abschätzung treffe, die mir dann b liefert.

Gruß Ardbeg

        
Bezug
Picard Iteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Do 07.07.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich kann dir leider nicht viel zum Thema DGLs und Picard-Iterationen sagen, deine letzte Frage ist allerdings recht einfach zu beantworten:

Es gilt: [mm] $|\cos(t)| \le [/mm] 1$ und [mm] $\cos(0) [/mm] = 1$. Aus diesem Grund folgt für alle $b>0$

[mm] $\max_{t\in[0;b]}|cos(t)| [/mm] = 1 $

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Picard Iteration: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Fr 08.07.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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