Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Di 05.08.2014 | | Autor: | Ellie123 |
| Aufgabe | a) Machen Sie einen Potenzreihenansatz [mm] y(x)=\summe_{n=0}^{\inftiy}a_nx^n [/mm] für das Anfangswertproblem [mm](1-x)y''(x)-y(x) =0 , \ y(0)=1,\ y'(0)=0[/mm], leiten Sie eine Rekursionsformel für die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] her und berechnen Sie [mm] a_n [/mm] für n=0,...,7.
b) Zeigen Sie , dass [mm] 0\le a_n \le [/mm] 1 für alle n [mm] \in \IN [/mm] , [mm] n\ge [/mm] 1 gilt, und folgern Sie, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_nx^n [/mm] mindestens im Intervall ]-1,1[ konvergiert. |
Hallo zusammen,
meine Frage bezieht sich eigentlich nur auf Aufgabenteil b). Mit Teil a) habe ich keine Probleme. Als Rekursionsformel im Aufgabenteil a) habe ich [mm] a_{n+2}=\bruch{na_{n+1}}{n+2}+\bruch{a_n}{(n+1)(n+2)} [/mm] erhalten.
Beim Aufgabenteil b) komme ich aber nicht klar. Ich weiß nicht, wie ich die Ungleichung [mm] 0\le a_n \le1 [/mm] zeigen kann. Ich könnte mir vorstellen, dass dies mit vollständiger Induktion geht, komme aber nicht richtig klar. Kann mir da jemand vielleicht weiterhelfen?
Viele Grüße,
Ellie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Di 05.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> a) Machen Sie einen Potenzreihenansatz
> [mm]y(x)=\summe_{n=0}^{\inftiy}a_nx^n[/mm] für das
> Anfangswertproblem [mm](1-x)y''(x)-y(x) =0 , \ y(0)=1,\ y'(0)=0[/mm],
> leiten Sie eine Rekursionsformel für die Koeffizienten [mm]a_n[/mm]
> her und berechnen Sie [mm]a_n[/mm] für n=0,...,7.
>
> b) Zeigen Sie , dass [mm]0\le a_n \le[/mm] 1 für alle n [mm]\in \IN[/mm] ,
> [mm]n\ge[/mm] 1 gilt, und folgern Sie, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_nx^n[/mm]
> mindestens im Intervall ]-1,1[ konvergiert.
> Hallo zusammen,
> meine Frage bezieht sich eigentlich nur auf Aufgabenteil
> b). Mit Teil a) habe ich keine Probleme. Als
> Rekursionsformel im Aufgabenteil a) habe ich
> [mm]a_{n+2}=\bruch{na_{n+1}}{n+2}+\bruch{a_n}{(n+1)(n+2)}[/mm]
> erhalten.
Das habe ich nicht nachgerechnet !
> Beim Aufgabenteil b) komme ich aber nicht klar. Ich weiß
> nicht, wie ich die Ungleichung [mm]0\le a_n \le1[/mm] zeigen kann.
> Ich könnte mir vorstellen, dass dies mit vollständiger
> Induktion geht, komme aber nicht richtig klar. Kann mir da
> jemand vielleicht weiterhelfen?
Wo ist das Problem bei dieser Induktion ? Vielleicht hilft Dir das weiter:
(*) [mm] a_{n+2}=\bruch{n(n+1)a_{n+1}+a_n}{(n+2)(n+1)}
[/mm]
Wegen [mm] a_0=1 [/mm] und [mm] a_1=0 [/mm] ist der Induktionsanfang erledigt.
Induktionsvor.: sei n [mm] \in \IN [/mm] und es sei
[mm] a_1,a_1,...,a_{n}, a_{n+1} \in [/mm] [0,1].
Mit (*) sieht man nun ganz locker: [mm] a_{n+2} \in [/mm] [0,1].
FRED
>
> Viele Grüße,
> Ellie
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